Bestimmen Sie für alle k ∈ ℕ den Rang von (A_{j})^{k} für j=1,2,3 .

Question

Aufgabe:

Es sei \( \mathbb{K} \) ein Körper und

\( A_{1}:=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{2 \times 2}, A_{2}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{2 \times 2}, A_{3}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{2 \times 2}, B:=\left(\begin{array}{ll} \# & 5 \\ 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \)
a) Bestimmen Sie für alle \( k \in \mathbb{N} \) den Rang von \( \left(A_{j}\right)^{k} \) für \( j=1,2,3 \).
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von # den Rang von \( B \).
c) Berechnen Sie den Rang von weiteren Matrizen.

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgaben?

Answer 1

\( A_1 \) hat den Rang 1. Da \( A^2 = A \) gilt, folgt \( A^k = A \) Also gilt \(   \text{rang}(A^k) = 1\)

\( A_2 \) hat den Rang 2. Wegen \( A^2 = I_2 \) folgt \( A^k = I_2 \) für gerade \( k \) und \( A^k = A \) für ungerade \( k \) Also gilt \(   \text{rang} A^k = 2   \)

Wegen \( A_3^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) gilt \(  \text{rang} A^k = 0  \) für \( k > 1 \) und \(  \text{rang} A = 1 \)

$$ \text{rang }B(x) = 2 $$ weil der Rang von \( B(x) \le 2 \) sein muss und die letzten beiden Zeilen der Matrix linear unabhängig sind.