Wie finde ich die Geradengleichung heraus?

Question

Aufgabe:

Eine Gerade durch den Ursprung schliesst mit der Parabel y = x2 eine Fläche von Inhalt 36 ein. Es wird verlangt, die Geradengleichung zu bestimmen. Lösung wäre y = +/- 6x

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht klar, wie ich das berechnen soll.

Answer 1

Hallo,

eine Gerade durch den Ursprung hat die Form y = mx

Den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnest du, indem du zunächst die Schnittpunkte bestimmst. Dazu werden die Funktionsgleichungen gleichgesetzt.

\(x^2=mx\)

\(x^2-mx=0\\ x\cdot (x-m)=0\\x_1=0\quad \quad x_2 = m\)

In der 2. Gleichung ist auf der linken Seite die Differenzfunktion. Davon bildest du die Stammfunktion:

\(F(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}mx^2\)

Jetzt die Berechnung des Integrals:

\( \int \limits_{0}^{m}\left(x^{2}-m x\right) d x=\left|\left[\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} m x^{2}\right]_{0}^{m}\right| \)
\( =\left|\frac{1}{3} m^{3}-\frac{1}{2} m^{3}\right|=\left|-\frac{1}{6}m^3\right|=\frac{1}{6} m^{3} \)

Da du den Flächeninhalt kennst, musst du nur noch nach m auflösen:

\( \frac{1}{6} m^{3}=36 \)

m = 6 für m > 0 und m = -6 für m < 0

Gruß, Silvia

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Vielen Dank für die Antwort.

Answer 2

Eine Gerade durch den Ursprung

... also y=m*x

schliesst mit der Parabel y = x^2 eine Fläche ... ein.

Also schneidet sie diese Parabel. Im Ursprung sowieso, dann noch an einer zweiten Stelle ungleich 0.

Diese Stelle \(x_s\) findest du, indem du x^2=m*x löst.

Die Fläche zwischen Gerade und Parabel wird mit A=\( \int\limits_{0}^{x_s}(mx-x^2)dx\) berechnet.

Löse (nachdem du \(x_s\) bestimmt hast) die Gleichung \( \int\limits_{0}^{x_s}(mx-x^2)dx = 36 \) nach m auf.

Dass du dafür eine Stammfunktion von mx-x^2 benötigst weißt du sicher.

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Dankeschön für die Erklärung.