Ich verstehe, wie Du auf Deine erste Lösung kommst. Die Basis des Logarithmus ist etwas "unhandlich".
Die Logarithmengesetze sagen:
\(\displaystyle \log _{b} r=\frac{\log _{a} r}{\log _{a} b} \)
und
\(\displaystyle \log _{a}\left(\frac{u}{v}\right)=\log _{a} u-\log _{a} v \)
Das bedeutet bei dieser Aufgabe:
\(\displaystyle log_{1,05/0,9}(2)= \frac{log_{2}(2)}{log_{2}(1,05 / 0,9)}=\frac{1}{log_{2}(1,05) - log_{2}(0,9)} \)