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Schreiben Sie alle normierten Polynome vom Grad höchstens 4 in Z2[x] hin. Unterschtreichen Sie die reduzible Polynome.

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Die Regel: "ein Polynom höchstens dritten Grades ist genau dann

reduzibel, wenn es eine Nullstelle im Koeffizientenkörper besitzt"

ilässt sich nicht auf Polynome 4-ten Grades übertragen:

So besitzt zwar \(X^4+X^2+1\) keine Nullstelle in \(\mathbb{Z}_2\),

,ist aber dennoch reduzibel:\(X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2+X+1)\).

Nützlich könnte allgemein die Regel \((a+b)^2=a^2+b^2\) sein, die gilt, da hier

\(2=0\) ist.

Insgesamt gibt es \(2^4=16\) normierte Polynome höchstens 4-ten Grades.

Avatar von 29 k

Nicht \(2^5=32\) ?

Nein. Wegen der Normiertheit.

Sind \(0\) und \(1\) in \(\mathbb{Z}_2\left[x\right]\) nicht normiert?

Doch durchaus.

Ein normiertes Polynom ist eines mit Leitkoeffizient 1 oder

das Nullpolynom (cum granu salis ;-))

Oh, ich ahne, dass ich darüber nochmal nachdenken muss!

Sorry, ich gebe dir Recht.
Also \(2^5=32\).
Habe aus Versehen nur die Polynome genau 4-ten Grades
"gezählt".

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Was genau meinst du?blob.png

Avatar von 26 k

Ich meine, für Polynome p höchstens 4-ten Grades gilt:

p ist reduzibel genau dann, wenn p eine Nullstelle im Koeffizientenkörper hat

Das ist leider falsch.

\(X^4+X^2+1\) besitzt keine Nullstelle im Koeffizientenkörper,

ist aber dennoch reduzibel:

\(X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2+X+1)\).

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