Die Regel: "ein Polynom höchstens dritten Grades ist genau dann
reduzibel, wenn es eine Nullstelle im Koeffizientenkörper besitzt"
ilässt sich nicht auf Polynome 4-ten Grades übertragen:
So besitzt zwar \(X^4+X^2+1\) keine Nullstelle in \(\mathbb{Z}_2\),
,ist aber dennoch reduzibel:\(X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2+X+1)\).
Nützlich könnte allgemein die Regel \((a+b)^2=a^2+b^2\) sein, die gilt, da hier
\(2=0\) ist.
Insgesamt gibt es \(2^4=16\) normierte Polynome höchstens 4-ten Grades.