Ich möchte das Problem noch etwas genauer betrachten:
Die Bestimmungsgleichungen für die ppT (Katheten) sind:
\( a=m^{2}-n^{2} ,\phantom{5} b=2\cdot{m}\cdot{m} \)
Angenommen, ich wähle m und n so, dass \( a=u^{2} \phantom{5} bzw. \phantom{5} b=v^{2} \) ganze Quadratzahlen sind.
O.B.d.A. soll m ungerade und n gerade sein, also \( m=(2p+1) ,\phantom{5} n=2q \)
\( ( a,b,u,v,m,n,p,q \in \mathbb{N} )\)
Setzt man die Terme in die obigen Gleichungen ein, ergibt sich:
\( a=(2p+1)^{2}-(2q)^{2} ,\phantom{15} b=2\cdot{(2p+1)} \cdot{(2q)} \)
Für \( \phantom{5} b=4\cdot{(2p+1)} \cdot{q} \phantom{5} \) lässt sich zeigen, dass bei geeigneter Wahl von p,q die Zahl b eine gerade Quadratzahl ist.
Für a lässt sich mit Hilfe der 3.Binomischen Formel folgende Gleichung bilden:
\( a=(2p+1)^{2}-(2q)^{2} = ( 2p+1+2q) \cdot{( 2p+1-2q)} \)
\( \phantom{5}= ( 2(p+q)+1) \cdot{( 2(p-q)+1)} \)
\( \phantom{5}= 4(p+q)(p-q) + 2(p+q)+2(p-q)+1 \)
\( a=4(p+q)(p-q) + 4p + 1 \)
Unter der Voraussetzung, dass b mit geeignetem p,q > 0 eine Quadratzahl ist, erhält man hier als Ergebnis eine ungerade Zahl, aber keine Quadratzahl.
Eine ungerade Quadratzahl hätte die Form \( (2k+1)^{2}=4k^{2} + 4k + 1 \)
was aber hier nicht zutrifft: \( (p+q)(p-q) \neq p^{2} \phantom{5} für \phantom{5} q > 0 \)
Somit ist gezeigt, dass in einem ppT \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \) die Katheten a und b nicht gleichzeitig Quadratzahlen sein können.
