Geradenschar und Pyramidenstumpf

Question

Aufgabe 24:

Eine Geradenschar \( \mathrm{g}_{\mathrm{t}} \) ist durch die Parameterdarstellung \( \mathrm{g}_{\mathrm{t}}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{r}5 &+\mathrm{t} \\ -10 & -3 \mathrm{t} \\ 33 &+11 \mathrm{t}\end{array}\right)+\mathrm{k} \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) \) mit \( \mathrm{k}, \mathrm{t} \in \mathbb{R} \) gegeben.

a) Wie liegen die Geraden der Schar zueinander? Welche Gerade der Schar schneidet die \( \mathrm{x}_{3} \) -Achse?

b) Auf welcher der Geraden liegt der Punkt \( A(-10|-15| 68) \) ?

Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes B auf dieser Geraden, sodass der Abstañd der Punkte A und B 12 beträgt.

Aufgabe 18:

Von dem abgebildeten Pyramidenstumpf sind die Punkte \( \mathrm{A}(6|0| 0), \mathrm{B}(6|6| 0), \mathrm{C}(0|6| 0), \mathrm{E}(4|2| 5) \) und \( \mathrm{F}(4|4| 5) \) gegeben.

Die Deckfläche EFGH ist ein Quadrat. P und \( Q \) sind die Mittelpunkte der Seiten \( \overline{B C} \) und FG.

a) Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte \( G \) und \( H \). Zeichnen Sie das Schrägbild des Pyramidenstumpfes in ein Koordinatensystem.

b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der drei Geraden AQ, BH und EP zueinander.

c) Ergänzen Sie den Pyramidenstumpf zu einer Pyramide. Bestimmen Sie die Koordinaten der Pyramiden-
spitze \( S \).

Answer 1

Schreibe mal den Parameter t extra:

X = [5, -10, 33] + t * [1, -3, 11] + k * [2, -1, 2]

Die geraden liegen in einer Ebene :)


Welche Gerade schneidet die z-Achse

5 + t + 2k = 0
-10 - 3t - k = 0

Das LGS hat die Lösung k = -1 ∧ t = -3

Die Gerade für t = -3 schneidet die z-Achse.


Auf welcher der Geraden liegt der Punkt A

5 + t + 2k = -10
-10 - 3t - k = -15

Das LGS hat die Lösung k = -10 ∧ t = 5

X = [5, -10, 33] + 5 * [1, -3, 11] + k * [2, -1, 2] = [2·k + 10, -k - 25, 2·k + 88]


Welche Punkte B auf der Geraden haben von A den Abstand 12

([2·k + 10, -k - 25, 2·k + 88] - [-10, -15, 68])^2 = 12^2

Die Lösung gibt hier k = -14 ∨ k = -6

[2·(-14) + 10, -(-14) - 25, 2·(-14) + 88] = [-18, -11, 60]

[2·(-6) + 10, -(-6) - 25, 2·(-6) + 88] = [-2, -19, 76]