nicht konstantes Polynom über einem unendlichen Körper

Question

Aufgabe:Zu Zeigen das ein nicht-konstantes Polynom über einem unendlichen Körper K nicht ganz auf ganz K verschwinden kann.

Problem/Ansatz: Wenn nun alle Koeffizienten a1 .... an € K = 0 dann verschwindet das Polynom doch ? Wo ist mein Fehler ?

Answer 1

Wenn nun alle Koeffizienten a1 .... an € K = 0

dann ist es konstant !

Comments

Dann ist umgekehrt ein Polynome mit an <> 0 ein nicht konstantes Polynom und kann daher nicht verschwinden ?

Und wie sieht es da bei einem endlichen Körper aus ?

Answer 2

Und wie sieht es da bei einem endlichen Körper aus ?

Der Körper bestehe aus den Elementen \(a_1,\cdots, a_r\).

Dann ist das Polynom \((x-a_1)\cdots(x-a_r)\) nicht das konstante

Polynom, verschwindet aber auf ganz K.

Beispiel: \(K=\mathbb{F}_2=Z/2Z\), \(p(x)=x^2-x\).

Comments

Super danke jetzt habe ich das verstanden