Mengensysteme: Gleichheit zwischen Vereinigung Schnitt und Schnitt Vereinigung

Question

Aufgabe:

(b) Es seien \( A, B \) Mengen und für jedes \( a \in A \) und \( b \in B \) sei \( X(a, b) \) eine Menge. Zeigen Sie:
\( \bigcup_{a \in A} \bigcap_{b \in B} X(a, b) \subseteq \bigcap_{b \in B} \bigcup_{a \in A} X(a, b) . \)
Kann Gleichheit gelten? Muss immer Gleichheit gelten?

Text erkannt:

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre das ich die Vereinigungszeichen und Durchschnittszeichne definiere und dann gucke ob ich vom linken auf das rechten kommen würden, dadurch wäre die Gleichheit bewiesen. Mein Problem ist nur das hier Vereinigung und Schnitt direkt nacheinander stehen und ich nicht genau verstehe was das jetzt genau bedeutet.

Answer 1

Mein Problem ist nur das hier Vereinigung und Schnitt direkt nacheinander stehen und ich nicht genau verstehe was das jetzt genau bedeutet

Ich mache Dir ein Beispiel:

Sei \(A=B=\{1,2\}\).

Dann ist die linke Menge

\(=\bigcup_{a=1}^2(\bigcap_{b=1}^2X(a,b))=(\bigcap_{b=1}^2X(1,b))\cup(\bigcap_{b=1}^2X(2,b))=\)

\(=(X(1,1)\cap X(1,2))\cup(X(2,1)\cap X(2,2))\).

Auf entsprechende Weise ergibt die rechte Menge

\((X(1,1)\cup X(2,1))\cap (X(1,2)\cup X(2,2))\)