Text erkannt:
Sei \( Q \) die Menge \( \{(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)\} \) in \( \mathbb{R}^{2} \) und sei
\( G=\left\{A \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \mid A(Q)=Q\right\} . \)
Somit besteht \( G \) aus denjenigen invertierbaren Matrizen, die die Ecken eines Quadrats in der Ebene auf sich selbst abbilden. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass \( G \) eine Gruppe ist.
(a) Zeigen Sie, dass ein Element \( A \in G \) eindeutig durch seine Einschränkung auf \( Q \) bestimmt ist.
Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Basis von \( \mathbb{R}^{2} \). Argumentieren Sie mit Hilfe der Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis.
Aufgabe:
Sei \( Q \) die Menge \( \{(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)\} \) in \( \mathbb{R}^{2} \) und sei
\( G=\left\{A \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \mid A(Q)=Q\right\} . \)
Somit besteht \( G \) aus denjenigen invertierbaren Matrizen, die die Ecken eines Quadrats in der Ebene auf sich selbst abbilden. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass \( G \) eine Gruppe ist.
Finden Sie ein Element der Ordnung 3 in G oder zeigen Sie, dass keins existiert.
Problem/Ansatz:
Ich bin jetzt mal ein paar passende Matrizen durchgegegangen:
\( 1=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \),
\( r^{2}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] \),
\( r=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right], r^{3}=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right] \)
\( s=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right], r^{2} s=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \)
\( r s=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], r^{3} s=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right] \).
Und keiner von diesen passt, da entweder bei Potenz 2 oder 4 die Einheitsmatrix herauskommt, deshalb vermute ich stark, dass es keine Matrix gibt mit Ordnung 3.
Aber wie zeigt man jetzt, dass es keine existiert?