Mengenumformung beweisen ohne Wahrheitstabelle

Question

Aufgabe:

Es seien \( A, B, C \) Teilmengen einer Menge \( Z \). Zeigen Sie:

1. \( A-(B \cup C)=(A-B) \cap(A-C) \)
2. \( A-(B \cap C)=(A-B) \cup(A-C) \),
3. \( (A \cup B)-(A \cap B)=(A-(A \cap B)) \cup(B-(A \cap B)) \).

Problem/Ansatz:

Hi kann mir wer erklären wie ich generell sowas beweisen kann? Vor allem bei 2. (A-B) \cup(A-C) \) rauskommt? Wir sollen das Mengentheoretisch beweisen und nicht mit Wahrheitstebellen.

Danke!

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LaTeX-Tipp:

A\setminus B

\(A\setminus B\)

Answer 1

Hallo

man beschreibt ein Element der linken Seite und zeigt, das es Element der rechten Seite ist

das minus soll wohl "ohne" \ sein?

also Anfang x∈B∪C->x∈B und x∈C ; x∈A\(B∪C)-> x∈A, x∉B,x∉C

jetzt die rechte Seite

Gruß lul

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Danke dir :)

Answer 2

Es bedeute \(\overline{A}\) die Komplementmenge \(Z-A\).

Dann gilt für Mengen \(A,B\subseteq Z:\; A-B=A\cap\overline{B}\),

was du sicher leicht überprüfen kannst.

Ferner gelten die DeMorganschen Regeln:

\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\) und \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}\)

Nun als Beispiel zu 1.:

\(A-(B\cup C)=A\cap\overline{(B\cup C)}=\)

Nun DeMorgan:

\(=A\cap(\overline{B}\cap\overline{C})=A\cap A\cap\overline{B}\cap\overline{C}=\)

\((A\cap\overline{B})\cap(A\cap\overline{C})=(A-B)\cap(A-C)\)

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Dankeschön :)