Extremwertproblem mit Nebenbedingung Aufgabe

Question

Aufgabe:

Beim Verkauf einer Zeitschrift wurde festgestellt, dass die Nachfrage bei steigendem Stückpreis linear absinkt. So wurden beim Preis von 3€ pro Einzelexemplar 1500 Stück verkauft, bei 5€
hingegen nur 1000 Stück.
Bei welchem Stückpreis lässt sich der größtmögliche Umsatz (= Stückpreis mal Stückzahl)
erzielen?

Problem/Ansatz:

Ich versteh einfach nicht, wie man da vorgehen soll. Wir haben das Thema vor einer Stunde erst angefangen. Man könnte doch auch ein Exemplar 0,1 ct machen, aber wie kommt man denn auf den grössten Umsatz bzw. woher soll man das wissen? Bin am verzweifeln

Answer 1

eine lineare Gleichung sieht allgemein so aus f(x)=m·x+n

Hier haben wir f(3€)=1500 und f(5€)=1000

anders geschrieben:

1500=m·3€+n

1000=m·5€+n

damit ist m=-250/€ und n=2250

f(x)=-250/€·x+2250

Also, wenn der Preis 0€ ist, dann "verkaufen" sie 2250 Zeitschriften, bei 9€ verkaufen sie Null Zeitschriften. Der Umsatz ist jeweils 0. Dazwischen gibt es ein Optimum. Das muss du jetzt berechnen.

Mach es wie in deiner Aufgabe mit dem Rechteck in der Parabell.

Umsatz U=Preis·Anzahl

U=x·f(x)

U=x·(-250/€·x+2250)

das jetzt nach x ableiten und gleich 0 setzen. Das bekommst alleine hin.

Answer 2

Die nachgefragte Menge ist eine lineare Funktion vom Preis. Da zwei Punkte gegeben sind, findet man die Funktion mit der Zweipunkteform.

Man soll den Umsatz = Menge mal Preis maximieren.