Bestimmen Sie die Lösungen des Gleichungssystems in Abhängigkeit von den Parametern a und b∈R.

Question

Hallo, und zwar habe ich folgende Aufgabe zu lösen.

Falls Ihre Lösung freie Variablen beinhaltet, bezeichnen Sie diese mit t,u,v der Reihenfolge nach.

3⋅x−6⋅y−9⋅z=−36

x+z=6

a⋅x−7⋅y−15⋅z=b

Geben Sie als Zwischenlösung die erweiterte Koeffizientenmatrix in Stufenform an:

Diese habe ich rausgefunden und lautet:

x +z=6

-6y-12z=54

(-6-6a)z=6b-36a+378

Und jetzt wird die Sache kompliziert....

Für die Lösung soll folgender Fall betrachtet werden:

a≠a₀, wobei a₀∉..... ?

Das a₀konnte ich hier noch ohne Probleme herausfinden. Dies lautet -1.

Nur habe ich keine Ahnung, wie man in diesem Fall die Lösung berechnet. Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen

Gefragt 31 Okt 2022 von Pascal534

1 Antwort

Ein anderes Problem?

mathef · Answer 1 · 2022-10-31T07:47:10+0000

3⋅x−6⋅y−9⋅z=−36

x+z=6

a⋅x−7⋅y−15⋅z=b

Matrix

3 -6 -9 -36 | - 3* 2. Zeile
1 0 1 6
a -7 -15 b | -a * 2. Zeile (a≠0)

0 -6 -12 -54
1 0 1 6
0 -7 -15-a b-6a

1. und 2. tauschen

1 0 1 6
0 -6 -12 -54 | :-6
0 -7 -15-a b-6a

1 0 1 6
0 1 2 9
0 -7 -15-a b-6a + 7*2. Zeile

1 0 1 6
0 1 2 9
0 0 -1-a b-6a+63

1. Fall (hattest du ja schon) a=-1. Dann ist es

1 0 1 6
0 1 2 9
0 0 0 b+69

1. Unterfall b≠-69 keine Lösung !
2. Unterfall b=-69

1 0 1 6
0 1 2 9
0 0 0 0

Falls Ihre Lösung freie Variablen beinhaltet,
bezeichnen Sie diese mit t,u,v der Reihenfolge nach.

Also z=t.

Dann y = 9 - 2t
und x = 6-t, also Lösungsmenge

L = { (6-t;9-2t;t) | t∈ℝ }

2. Fall a≠-1

  1 0 1 6
0   1 2 9
  0 0 -1-a b-6a+63

\( z=\frac{ b-6a+63}{ -1-a } , y= 9-\frac{ 2b-12a+126}{ -1-a } , x=6-\frac{ b-6a+63}{ -1-a } \)