Aufgabe: Gauß-Elimination mit Spalten-Pivoting angewandt auf eine Matrix A führt zur Zerlegung P A =
LU wobei P die Permutations-Matrix bezüglich der (Zeilen) Vertauschung ist, welche während
der Elimination erfolgt. Zeigen Sie,
a) dass die Gauß-Elimination mit Spalten-Pivoting invariant ist unter
i) Permutation von Zeilen in A (wobei wir den trivialen Fall vernachlässigen, bei dem
mehrere Elemente mit gleichen Absolutwerten in einer Spalte auftreten);
ii) Multiplication von A mit einem nicht-trivialen Skalar: σA, mit σ 6= 0.
b) dass die Gauß-Elimination mit Spalten-Pivoting, angewandt auf eine Matrix A* := AD, wobei
D eine Diagonalmatrix ist,
PA* = LU,
ergibt mit U*= UD.
Sind diese Ergebnisse analog auch für Zeilen-Pivoting (d.h. Vertauschung von Spalten) gültig?
Problem/Ansatz: Bei a) würde ich beweisen das die L U Matrizen nach dem Pivoting lineare Transformationen sind, und bei b) habe ich keine wirkliche Idee.