...zeigen Sie, dass dann Ker(g) ungleich {0} und Bild(f) ungleich W gilt.

Question

Aufgabe (Nur Nr. 3 relevant):

Nr. 2: Seien f : V → W und g : W → V lineare Abbildungen zwischen K-Vektorräumen, so dass g ◦ f(v) = v für alle v ∈ V gilt. Zeigen Sie, dass dann Ker(f) = {0} und Bild(g) = V gilt.

Nr. 3: Geben Sie ein Beispiel einer 2 × 3-Matrix A und einer 3 × 2-Matrix Ban, so dass A · B = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)gilt und erklären Sie damit warum in Nr. 2 Ker(g) ≠ {0} und Bild(f) ≠ W gelten kann.

Problem/Ansatz:

Nr. 2 hab ich verstanden nur die Nr. 3 verstehe ich leider nicht. Wenn man in Nr. 2 von einer bijektiven Verkettung ausgeht dann sollte der Ker(g) = {0} und Bild(f) = W erneut stimmen. Wie kann er also ≠ sein? Hat es vielleicht was mit den Dimensionen zu tun? Verstehe da auch nicht was mir die Matrizen bringen sollen.

Answer 1

Schau Dir mal Folgendes an:

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$$

Comments

Nagut ich glaube ich versteh langsam was gemeint ist... Aber ist dieser Vergleich denn nahliegend? Also würden diese zwei Matrizen denn eine Funktion und deren Umkehrung beschreiben? :/

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Jede Matrix definiert in natürlicher Weise eine Abbildung. Die erste Matrix in meinem Beispiel

$$g:\R^3 \to \R^2, g(x):=Ax$$

(Matrix mal Vektor) Wenn man 2 Abbildungen g, f sieht mit \(g \circ f=id\); dann ist eine typische Situation, dass f und g bijektiv sind und invers zueinander.

Aber Nr. 3 warnt: Das muss nicht so sein. Es gibt auch (tatsächlich viele) Beispiele, wo nur die Eigenschaften von Nr. 2 gelten. Die Abbildungen sind dann nicht die Umkehrungen voneinander.

Vielleicht hattet Ihr schon die Begriffe "Linksinverse" oder "Rechtsinverse", die benutzt werden, um die Situation von Nr. 3 näher zu beschreiben.