Invertierbare Matrizen nxn

Question

Aufgabe:

Gilt A^k = Ο für A∈ℂ^nxn und k ∈ℕ, so ist E_n-A invertierbar

Problem/Ansatz:

hat jemand einen Tipp? Danke :)

Answer 1

Denke an die Formeln für die geometrische Summe:

\(1-q^k=(1-q)(1+q+\cdots + q^{k-1})\). Analog zeige, dass

\(E_n=E_n-A^k=(E_n-A)(E_n+A+\cdots + A^{k-1})\).

Answer 2

\( (E_n-A) \cdot \left(E_n+A+A^{2}+...+A^{k-1}\right)\)

\(=E_n \cdot E_n - A \cdot E_n  + E_n\cdot A - A\cdot A \dots  \)

Die meisten Summanden heben sich gegenseitig auf

\( =E_n-A^{k}=E_n-O=E_n   \)