Beweise mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes

Question

Beweise:
1. Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt
\( \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=2^{n} . \)
2. Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt
\( \sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=0 . \)
3. Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt
\( \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} 2 n+1 \\ k \end{array}\right)=2^{2 n} . \)

Answer 1

Zu 1) Berechne (1+1)^n mit dem binomischen Satz.

Zu 2) ebenso mit (1-1)^n .

Comments

Ich habe dich nicht verstanden: wie kann man  (1+1)^{n} \) in diesem Beispiel umsetzen?

---

Text erkannt:

1) \( \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=2^{n} \quad, n \in \mathbb{N}_{0} \)
IA: \( n=0 \)
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=0}^{0}\left(\begin{array}{l} 0 \\ k \end{array}\right)=2^{0} \\ 1=1 \\ I V: \\ \exists n \in \mathbb{N}_{0} \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=2^{n} \\ I S: n \longmapsto n+1 \\ (1+1)^{n+1}=(1+1)^{n} \cdot(1+1)^{1} \cdot z \sum \limits_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{l} n+1 \\ k \end{array}\right)=2^{n+1} \\ =\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \cdot \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} 1 \\ k \end{array}\right) \cdot 1^{1-k} \cdot 1^{k} \\ =\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \cdot \sum \limits_{k=0}^{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ k \end{array}\right) \end{array} \)

Das ist was ich bisher gemacht habe, ich habe das nicht vollständig gelöst

---

Du solltest doch gar keine Induktion benutzen, nur den

binomischen Satz. Dann gibt es

\( (1+1)^n =  \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\cdot 1^k \cdot 1^{n-k} = \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\)

und entsprechend

\( 0 = (-1+1)^n = ((-1)+1)^n \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\cdot (-1)^k \cdot 1^{n-k} = \sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\)

Und wo du (-1)^n hast soll vermutlich auch (-1)^k stehen.

---

Also auf dem Blatt steht (-1)ⁿ was am Ende rauskommen soll (Ich geh jetzt mal davon aus, dass wir im gleichen Kurs sind xD).

Ich meine man muss die Basis gleich stellen, indem man das "-" rauszieht und dann 1^k [ursprünglich (-1)^k ] mit 1^n-k zu 1^n-k+k also 1ⁿ kombiniert.

Dann kann man das "-" wieder reinziehen.

---

unser Professor hat leider im Tutorium gesagt, das müssen wir durch vollständige Induktion zeigen :_)

---

Nevermind, was ich gesagt habe, ein paar Freunde von mir haben mich überzeugt, dass wir vollständige Induktion benutzen müssen. habe den Professor gefragt, er hat gesagt, nur durch Binomischen Lehrsatz. eine Sache, die mir nicht klar ist. wie kann man(-1)^k so umformen, dass man (-1)^n kriegt? Ich finde das Rausziehen von "-" nicht so logisch ist. denn "-" ist stark abhängig von k
Danke sehr

---

Update, das war ein tippfehler. müsste -k sein. mathef hat recht. Ich sollte nie an dem zweifeln, was Mathef sagt :D

Answer 2

Ich mach mal Nr. 3.

$$\begin{array}{rcl} 2^{2n+1} & = & \sum \limits_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k} \\ & = & \sum \limits_{k=0}^{\color{blue}{n}}\binom{2n+1}{k} + \sum \limits_{\color{blue}{k=n+1}}^{\color{blue}{2n+1}}\binom{2n+1}{k}\end{array} $$

Jetzt benutzt du für die zweite Summe die Symmetrie des Binomialkoeffizienten:

$$\binom{2n+1}{k}=\binom{2n+1}{2n+1-k}$$

D.h., jeder Binomialkoeffizient in der ersten Summe kommt in der zweiten Summe genau einmal vor und umgekehrt. Also

$$\begin{array}{rcl} 2^{2n+1} & = & 2\sum \limits_{k=0}^{\color{blue}{n}}\binom{2n+1}{k}\end{array}$$
Jetzt musst du nur noch durch 2 teilen. Das überlass ich aber dir.

Comments

Alle Schritte habe ich verstande, aber der erste ist mir nicht klar. Welche Regel hast du bei 2^(2n+1) genutzt und wieso hast über Summezeichen 2n+1 anstatt n + 1

---

Beim ersten Schritt hab ich einfach die binomische Formel für \(2^{2n+1   }   \) benutzt.

Wegen n über der letzten Summe musst du dir genau die blauen Indizes anschauen und die Erklärung dazu in Ruhe durchlesen.

---

würden Sie mir das mithilfe von vollständiger Induktion zeigen :). Im Tutorium hat der Professor ein Beispiel wie das hier mithilfe von vollständiger Induktion gezeigt: der müsste das von uns erwarten. Das verwirrt mich aber leider: Ich kann die vollständige Induktion, Ich kenne aber nicht genug Formmeln für binomialkoeffizient und Summezeichen

---

Ich habe verstanden, was du gemacht hast. Nevermind, was ich gesagt habe, ein paar Freunde von mir haben mich überzeugt, dass wir vollständige Induktion benutzen müssen. habe den Professor gefragt, er hat gesagt, nur durch Binomischen Lehrsatz.

Danke sehr