Duale 1-Form eines vektorfeldes

Question

Definition:

Ist \( \mathcal{V} \) ein Vektorfeld, so wird dessen duale 1-Form \( \omega_{\mathcal{V}}^{1} \) durch die Gleichung
*ω_v¹ := V⌋dℝⁿ

definiert.
Ist das Vektorfeld \( \mathcal{V}=\sum V^{i} \partial / \partial x^{i} \) in kartesischen Koordinaten gegeben, so erhalten wir die entsprechende Darstellung von \( \omega_{\mathcal{V}}^{1} \) wie folgt:
\( \begin{aligned} \omega_{\mathcal{\nu}}^{1} & =(-1)^{n-1} *\left(V^{1} d x^{2} \wedge \ldots \wedge d x^{n}-V^{2} d x^{1} \wedge d x^{3} \wedge \ldots \wedge d x^{n} \pm \ldots\right) \\ & =V^{1} d x^{1}+\ldots+V^{n} d x^{n} \end{aligned} \)

Ich verstehe hier grade mehrere Sachen nicht.

1. Was genau bedeutet dieses ,,∧" ?

2. Wie kommt man schlussfolgernd auf die letzte Gleichung? Und warum verschwinden alle negativen Vorzeichen ?

Ich habe bereits versucht anderweitig Hilfe zu bekommen, aber leider ohne Erfolg. Würde mich echt mega freuen, wenn mir jemand eine ausführliche Erklärung geben könnte (falls es nicht zu viel verlangt ist).

Comments

Update: Die erste Frage hat sich geklärt :)