Zeige die Dezimaldarstellung von Brüchen

Question

Aufgabe:

Beispiel: $$ 0.33333.... = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3}{10^{n+1}} = \frac{3}{10} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{10^n} = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{1}{3} $$

Zeigen wie im Beispiel, dass

$$ a) 0.\overline{629} = \frac{17}{27} $$
$$ b) 0.08\overline{63} = \frac{19}{220} $$

$$ c) 0.\overline{3564} = \frac{36}{101} $$

Answer 1

a) \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{629}{1000^n}} \)

Weißt du, wie b) und c) gehen?

Comments

Nein, leider nicht. Und wie komme ich damit auf die 17/27?

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Also es wird dann ja wahrscheinlich bei b) 863/10000^n sein und bei c) 3564/10000^n sein. Aber wie komme ich damit weiter?

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\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{629}{1000^n}} \)=0,629+0,000629+0,000000629+ ...

Bei b) gibt es einen nichtperiodischen Teil, der als Extrasummand geschrieben werden muss:

\( \frac{8}{100} \)+\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{63}{10^{2n+2}}} \).

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Danke, dass ist schonmal gut zu wissen, aber wie ist der weg von der Form 629/1000^n zu 17/27? Den Weg muss ich ja auch zeigen.

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0,\( \overline{629} \)=\( \frac{629}{999} \) kürzen mit 37 ergibt \( \frac{17}{27} \).

Answer 2

Hallo,

du musst den Term so umformen, dass eine geometrische Reihe mit unterer Grenze 0 auftritt.

Geometrische Reihe:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} q^{k}=\frac{1}{1-q} \quad \) für \( \quad|q|<1 \)

a)

\(0,\overline{629}\\=0,629 +0,000629+0,000000629+\ldots\\ =\frac{629}{1000}\cdot(1+\frac{1}{1000} +\frac{1}{1000^2}+\ldots)   \)

Jetzt steht in der Klammer die gewünschte geometrische Reihe.

Ich hoffe, du schaffst es jetzt.

:-)

Zu b)

\(0,08\overline{63}\\=\frac{8}{100}+\frac{63}{10000}\cdot(1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100^2}+\ldots)\\=\frac{8}{100}+\frac{63}{10000}\cdot\frac{100}{99}\\=\ldots\)

Ein anderes Verfahren:

x=0,08636363...

10000x=863,636363...  (1)

 100x=    8,636363...  (2)

(1)-(2):

9900x = 855

x=855/9900=19/220

NR:

855=9•95=9•5•19

9900=9•1100=9•5•220

:-)