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Aufgabe:

Natürliche Logarithmus ist gleichmäßig stetig


Problem/Ansatz:

\( \begin{aligned} & \left|f(x)-f\left(x+\frac{\delta}{2}\right)\right| \\ = & \left|\ln (x)-\ln \left(x+\frac{\delta}{2}\right)\right| \\ = & \ln \left(\frac{x}{x+\frac{\delta}{2}}\right) \\ = & \ln \left(\frac{x}{\frac{2 x}{2}+\frac{\delta}{2}}\right) \\ = & \ln \left(\frac{x}{\frac{2 x+\delta}{2}}\right) \\ = & \ln \left(x \cdot \frac{2}{2 x+\delta}\right) \\ = & \ln \left(\frac{2 x}{2 x+\delta}\right) \\ = & \ln \left(\frac{2 x}{2 x \cdot\left(1+\frac{\delta}{2 x}\right)}\right) \\ = & \ln \left(\frac{1}{1+\frac{\delta}{2 x}}\right) . \\ = & \left|\ln (1)-\ln \left(1+\frac{\delta}{2 x}\right)\right| \\ = & \left|-\ln \left(1+\frac{\delta}{2 x}\right)\right| \\ \rightarrow & 0<\varepsilon \\ & Macht das Sinn ?\end{aligned} \)

Das widerspricht doch der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit oder? Wo liegt denn hier der Fehler

Danke!

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Der "Fehler" liegt in der Aufgabe: Der Logarithmus ist nicht gleichmäßig stetig, wenn man nicht den Definitionsbereich einschränkt.

Achso sorry Ja stimmt, ich meinte natürlich das ich zeigen soll, dass er nicht gleichmäßig stetig ist

Das hast Du ja getan. Du hast die Differenz zwischen 2 Punkten Abstsnd \(\delta /2\) umgeformt, so dass man sieht: Diese Differenz wird beliebig groß...

Okay, also mit der Begründung, dass die Differenz zweier Funktionswerte für delta/2 beliebig groß wird.

Ja, das 1/2 spielt keine Rolle. Mit delta geht es genauso

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