Aloha :)
Du sollst den Fluss \(\phi\) eines Vektorfeldes \(\vec v=\binom{x-y}{x}\) durch den Rand \(x^2+y^2=4\) eines Kreises \(C\) mit Radius \(2\) bestimmen:$$\phi=\oint\limits_C\vec v(\vec r)\cdot d\vec n$$Zum Abtasten der Kreislinie wählen wir Polarkoordinaten:$$\vec r=\binom{2\cos\varphi}{2\sin\varphi}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Der Normalenvektor \(\vec n\) steht auf dem Rand senkrecht und liegt in der xy-Ebene, daher ist er parallel zu \(\vec r\), muss aber auf die Länge \(1\) normiert werden: \((\vec n=\frac12\,\vec r)\). Wegen \(ds=r\,d\varphi=2\,d\varphi\) ist dann \(d\vec n=\vec n\,ds=\frac12\vec r\cdot2d\varphi=\vec r\,d\varphi\)$$\phi=\int\limits_0^{2\pi}\binom{2\cos\varphi-2\sin\varphi}{2\cos\varphi}\cdot\binom{2\cos\varphi}{2\sin\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{0}^{2\pi}4\cos^2\varphi\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\left(2+2\cos2\varphi\right)d\varphi$$$$\phantom\phi=\left[2\varphi+\sin2\varphi\right]_{0}^{2\pi}=4\pi$$
