Zeigen Sie: ∫ab f(x) dx = 0 => f(x)=0

Question

Aufgabe:
Sei f : [a, b] → [0,∞) eine stetige Funktion. Es gelte ∫_a^b f(x) dx = 0. Zeigen Sie, dass f dann
konstant 0 ist. Gilt die Aussage auch, wenn an Stelle der Stetigkeit nur die Integrierbarkeit
von f vorausgesetzt wird?

Problem/Ansatz:

Ich hätte jetzt gesagt: ∫_a^b f(x) dx = 0 ⇔ [F(x)]_a^b = 0 ⇔ F(b) - F(a) = 0  Also muss für a≠b gelten: F(x) = 0 ⇒ f(x) = 0

Aber ich weiß jetzt nicht, ob das richtig ist, und wie die Stetigkeit oder die Integrierbarkeit da ne Rolle spielt.

Comments

Falls f konstant 0 ist nichts zu zeigen

Andernfalls findet man ein x mit f(x)>0

Aufgrund der Stetigkeit findet man eine Umgebung U:=(x-δ, x+δ) von x und ein ε mit f(u)≥ε>0 für alle u in U.

Mit der Monotonie des Integrals kann man dann nach unten durch 2δε>0 abschätzen. Im Widerspruch zur Voraussetzung, dort ist es =0.

Answer 1

Ich hätte jetzt gesagt: ∫ab f(x) dx = 0 ⇔ [F(x)]ab = 0

Das geht ja nur, wenn f eine Stammfunktion besitzt, also z.B.

wenn f stetig ist.

⇔ F(b) - F(a) = 0  Also muss für gelten: F(b) = F(a) , also

ist F konstant.  FEHLER: s. Kommentare!

Und f ist die Ableitung von F, und

die Ableitung einer konstanten Funktion ist 0 ⇒ f(x) = 0.

Comments

Den Schluss: "F(b)=F(a), also F konstant" habe ich nicht verstanden.

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Da hatte ich mich vertan, dachte :

Für alle a,b aus dem Intervall ist das Integral 0. Das war

aber falsch, es geht ja nur um die Intervallgrenzen.

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Das kann man reparieren: Weil \(f(x) \geq 0\) ist, ist die Stammfunktion F monoton wachsend. Wenn dann F(a)=F(b) ist, ist F konstant.