Hier ist eine Lösung ohne Taschenrechner und ohne Logarithmus. Man muss nur wissen, dass \(\boxed{e>2.5 = \frac 52}\):
Die Ungleichung ist äquivalent zu:
\( \left(\frac 2e\right)^n\leq \frac cn\)
Nun haben wir:
\(\frac 2e < \frac 2{\frac 52} = \frac 45 = \frac 1{1+\frac 14}\)
Jetzt benutzen wir die binomische Formel und schätzen ab
\((1+\frac 14)^n > \frac n4 \) für \(n\geq 1\):
Also haben wir für \(n\geq 1\)
\(\left(\frac 2e\right)^n< \frac 1{\left(1+\frac 14\right)^n}< \frac 1{\frac n4} = \boxed{\frac 4n}\)
\(\Rightarrow c=4, N=1\) ist eine mögliche Lösung.