Ableitung Integral Substitution

Question

Aufgabe:

\( \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x \)

Problem/Ansatz:

hallo,

muss man bei der substitution genau die ableitung einer funktion haben, also wir wählen u = x^2 - 1 und die ableitung wäre

2x. dies entspricht allerdings nicht ganz dem x im zähler , aber dennoch funktioniert die substitution. also muss man nicht genau die ableitung  von u als faktor des integrals haben ?

Comments

für alle Fälle:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Um deine konkrete Frage zu beantworten:

Nein, es ist nicht so, dass man genau die Ableitung haben muss. Siehe mein Beispiel unten.

Entscheidend bei der Substitution ist, einen Ausdruck zu erhalten, von dem man die Stammfunktion bestimmen kann.

Selbstverständlich ist es am schönsten, wenn es einem gelingt, wie folgt aufzusplitten:

\(h(x) = a\cdot f(u(x))\cdot \frac{du}{dx}\), wobei \(a\) eine geeignete Konstante ist.

Das ist genau, was in deinem Beispiel passiert.

Hier nun ein Beispiel, das so ähnlich aussieht wie deins, wo aber Substitution ganz anders funktioniert:

$$ \int \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\; dx \stackrel{x=\sin u}{=} \int \frac1{\sqrt{1-\sin^2 u}} \cdot \cos u\; du =\int du =u + C =\arcsin x + C$$

Comments

Doch es ist so, dass man genau die Ableitung haben muss.

Du bringst hier zwei ganz unterschiedliche Sachverhalte bei der Integration durch Substitution völlig durcheinander.

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Nein, man muss nicht GENAU die Ableitung haben. Es kann auch ein Vielfaches derselben sein.

Genau DAS war nämlich das nachgefragte Anliegen des Fragestellers.

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Auch falsch. Die Regel fordert, dass im Integranten genau die innere Ableitung steht. Wenn du von Vielfachen redest, kannst Du die auch vor das Integral ziehen, um einen regelkonformen Integranden zu bekommen.

(Ansonsten ist es schon interessant: Ich kritisiere zweimal "trancelocation", und Du wiederum kritisiert genau zweimal mich, weil ich "trancelocation" kritisiere. Sollte es da einen Zusammenhang geben?)

Answer 2

du könntest doch x auch als 1/2 * 2x schreiben und dann hast du den faktor 2x außerhalb stehen.

Answer 3

Aloha :)

Wenn du den Bruch mit \(2\) erweiterst, lösen sich deine Probleme in Luft auf, denn:$$\left(\sqrt x\right)'=\frac{1}{2\sqrt x}\quad\text{und}\quad(x^2-1)'=2x$$Du kannst das Integral dann sofort hinschreiben:$$\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx=\int\frac{\pink2x}{\pink2\sqrt{x^2-1}}\,dx=\sqrt{x^2-1}+\text{const}$$

Wenn du das (noch) nicht direkt siehst, kannst du auch einfach die innere Funktion substituieren. Dabei ergibt sich der gesuchte Faktor \(2\) ganz von alleine:$$u(x)\coloneqq x^2-1\implies\frac{du}{dx}=2x\implies dx=\frac{du}{2x}$$Damit lautet das Integral:$$\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx=\int\frac{x}{\sqrt u}\,\frac{du}{2x}=\int\frac{1}{2\sqrt u}\,du=\sqrt u+\text{const}=\sqrt{x^2-1}+\text{const}$$