Lösungsmenge inhomogenes Gleichungssystem

Question

A=\( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 &1 \end{pmatrix} \)

Wie viele Lösung hat das homogene Gleichungssystem Ax= \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \)

und das inhomogene Gleichungssystem

Az= \( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \)

Begründen Sie kurz ohne Rechnung.


Zum homogenen System habe ich mir überlegt, dass es ja immer die Lösung x= 0 gibt. Und in diesem Fall müsste es die einzige Lösung sein weil der Rang der Matrix ja der Anzahl der Variablen ist.
Wie sehe ich das jetzt bei dem inhomogenen System ? Dort gibt es ja entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Die Spaltenvektoren der Koeffizienten-Matrix sind linear unabhängig. Daher ist die Matrix invertierbar und das Gleichungssystem hat immer genau eine Lösung.$$A\cdot\vec x=\vec y\quad\implies\quad\vec x=A^{-1}\cdot\vec y$$(Das homogene Gleichungssystem hat nur den Nullvektor als Lösung.)