Aloha :)
Wegen der Radialsymmetrie der Massenverteilung
(a) liegt der Schwerpunkt auf der \(z\)-Achse, d.h. \(x_s=y_s=0\) kriegen wir geschenkt.
(b) verwenden wir zu Berechnung von \(z_s\) Zylinderkoordinaten.
Der Radius des Grundkreises ist \(R\). Nach oben hin nimmt der Radius der Kreise linear \(\propto\frac zh\) mit der Höhe \(z\) ab. Unser Ortsvektor zum Abtasten des Kegelvolumens lautet daher:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in[0;h]\quad;\quad r\in\left[0;R\left(1-\frac zh\right)\right]$$Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten lautet:$$dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$und die Massendichte in Zylinerkoorinaten ist:$$\rho(\vec r)=\frac{\rho_0R}{\sqrt{x^2+y^2}}e^{\sqrt{x^2+y^2}/R}=\frac{\rho_0R}{r}e^{r/R}$$
Damit können wir das Integral für die \(z\)-Koordinate des Schwerpunkts formulieren:$$z_s=\frac{1}{M}\int\limits_{r=0}^{R\left(1-\frac zh\right)}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=0}^h z\cdot\frac{\rho_0R}{r}e^{r/R}\,r\,dr\,d\varphi\,dz=\frac{2\pi\rho_0R}{M}\int\limits_{r=0}^{R\left(1-\frac zh\right)}\int\limits_{z=0}^h ze^{r/R}\,dr\,dz$$Der Faktor \(2\pi\) kommt daher, dass ich das \(d\varphi\)-Integral direkt ausgerechnet habe.
Da die obere Grenze für das \(dr\)-Integral von der Integrationsvariablen \(z\) abhängt, müssen wir nun zuerst über \(dr\) bei festgehaltenem \(z\)-Wert integrieren:$$z_s=\frac{2\pi\rho_0R}{M}\int\limits_{z=0}^h\left[zRe^{r/R}\right]_{r=0}^{R\left(1-\frac zh\right)}dz=\frac{2\pi\rho_0R^2}{M}\int\limits_{z=0}^h\left(ze^{\left(1-\frac zh\right)}-z\right)dz$$
Wir setzen \(M=2\pi\rho_0R^2h(e-2)\) ein. Das Integral folgt mit partieller Integration, die führe ich hier aber nicht explizit vor, um mir etwas Tipparbeit zu sparen:$$z_s=\frac{2\pi\rho_0R^2}{2\pi\rho_0R^2h(e-2)}\cdot\frac12(2e-5)h^2=\frac{2e-5}{2e-4}\,h\approx0,3039\,h$$
