Frage Differenzierbarkeit der Betragsfunktion

Question

Ist es Richtig, dass die Betragsfunktion in x=0 nicht differenzierbar ist, aber |x|² schon? Bzw. folgt aus der Differenzierbarkeit der rechtlichen Punkte der Betragsfunktion, dass |x|² in diesen Punkten auch differenzierbar ist oder muss man dies noch nachrechnen?

$$\lim\limits_{x\to\\0{ }} \frac{|x|^{2}+|0|^{2}}{x-0}=\lim\limits_{x\to\\0{ }} \frac{|x|^{2}}{x} =\lim\limits_{x\to\\0{ }} x\rightarrow 0\text{ . Für ein beliebiges x. }$$

Answer 1

Ist es Richtig, dass die Betragsfunktion in x=0 nicht differenzierbar ist,

Ja. Das folgt aus der Tatsache, dass der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten ist.

aber |x|² schon?

Ja.

muss man dies noch nachrechnen?

Ja. Das \(x\mapsto |x|^2\) bei \(0\) differenzierbar ist, folgt aus

        \(\begin{aligned} |x|^{2} & =\begin{cases} x^{2} & \text{falls }x\geq0\\ \left(-x\right)^{2} & \text{falls }x<0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} x^{2} & \text{falls }x\geq0\\ \left(-1\cdot x\right)^{2} & \text{falls }x<0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} x^{2} & \text{falls }x\geq0\\ \left(-1\right)^{2}\cdot x^{2} & \text{falls }x<0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} x^{2} & \text{falls }x\geq0\\ 1\cdot x^{2} & \text{falls }x<0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} x^{2} & \text{falls }x\geq0\\ x^{2} & \text{falls }x<0 \end{cases}\\ & =x^{2} \end{aligned}\)

und der Tatsache, dass \(x\mapsto x^2\) bei \(0\) differenzierbar ist.