Zeige dass d(x,y) eine Metrik ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( X \) eine nichtleere Menge und für jedes \( k \in \mathbb{N} \) sei \( d_{k}: X \times X \rightarrow[0, \infty) \) eine Funktion mit
(i) \( d_{k}(x, x)=0 \) für alle \( x \in X \),
(ii) \( d_{k}(x, y)=d_{k}(y, x) \) für alle \( x, y \in X \) und
(iii) \( d_{k}(x, y) \leq d_{k}(x, z)+d_{k}(z, y) \) für alle \( x, y, z \in X \).
Ferner gebe es für alle \( x, y \in X \) mit \( x \neq y \) ein \( k \in \mathbb{N} \) mit \( d_{k}(x, y) \neq 0 \) und wir setzen
\( d(x, y):=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{d_{k}(x, y)}{2^{k}\left(1+d_{k}(x, y)\right)}, \quad x, y \in X \)

Zeige dass d(x,y) eine Metrik ist
Problem/Ansatz:

Die Symmetrie und die Definitheit meine ich hinbekommen zu haben. Allerdings bei der Dreiecksungleichung bin ich mir sehr unsicher. ich habe für das dk(x,z) nach defintion oben dk(x,y) + dk(y,z) eingesetzt und dann wollte ich Summen auseinander ziehen aber die sind ja unendlich und jetzt bin ich mir unsicher wie ich weiter machen soll :D

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Hab es hinbekommen

Answer 1

\(\begin{aligned} d(x,y)+d(y,z) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}(x,y)}{2^{k}\left(1+d_{k}(x,y)\right)}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}(y,z)}{2^{k}\left(1+d_{k}(y,z)\right)}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{d_{k}(x,y)}{2^{k}\left(1+d_{k}(x,y)\right)}+\frac{d_{k}(y,z)}{2^{k}\left(1+d_{k}(y,z)\right)}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}(x,y)+d_{k}(y,z)+2d_{k}(x,y)d_{k}(y,z)}{2^{k}\left(1+d_{k}(x,y)+d_{k}(y,z)+d_{k}(x,y)d_{k}(y,z)\right)}\\ & \geq\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}(x,y)+d_{k}(y,z)}{2^{k}\left(1+d_{k}(x,y)+d_{k}(y,z)\right)}\\ & \geq\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}(x,z)}{2^{k}\left(1+d_{k}(x,z)\right)}\\ & =d(x,z) \end{aligned}\)

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Wie begründet Du die Ungleichungen?