Geometrische Reihe - Potenzreihe

Question

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) (6x+4)^k

Die Entwicklungsstelle x₀ = -2/3
Betrachtet man für festes x die Basis 6x+4 als eine Zahl q, erkennen wir die geometrische Reihe wieder. Diese konvergiert für |q|<1.

Durch Umstellen findet man x₁,x₂, sodass die Potenzreihe für x∈(x₁,x₂) konvergiert.
Im linken Randpunkt x₁= -5/6  ist die Reihe divergent.
Im rechten Randpunkt x₂= -1/2  ist die Reihe ebenfalls divergent

Kann mir jemand die Aufgabe etwas genauer erklären? Wie kommt man auf -5/6 und -1/2 ?
Ich kann nicht nachvollziehen, was da nun umgestellt wird um auf x₁ und x₂ zu kommen

Answer 1

\(\begin{aligned} &  & \left|6x+4\right| & <1\\ & \iff & -1<6x+4 & <1\\ & \iff & -1-4<6x & <1-4\\ & \iff & -5<6x & <-3\\ & \iff & \frac{-5}{6}<x & <\frac{-3}{6}\\ & \iff & -\frac{5}{6}<x & <-\frac{1}{2} \end{aligned}\)

Comments

Dankeschön! <3