CES Produktionsfunktion Optimierung

Question

Aufgabe: Hab folgende Funktion zu optimieren:

f(K,L) = ($K^{1/2}$+$L^{1/2}$)² unter der Bedingung kK - lL - b = 0 zu optimieren wobei k, l und b konstante positive Zahlen sind.

Hab hier die Lagrange Methode angewendet und nun habe ich ein System, was ich irgendwie nicht gelöst bekomme.

Comments

Was willst Du mit "CES" mitteilen?

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So heißt diese Funktion “constant elasticity of substitution”.

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Das sagt mir etwas. Doch ist das hier relevant? Oder möchtest Du einfach eine Funktion maximiert haben, unter Nebenbedingungen? Oder minimiert?

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Nicht wirklich, ist halt hier eine Anwendung in der Wirtschaft. Wir sollen die Funktion unter den Nebenbedingungen mithilfe von Lagrange maximieren. Wenn es nur einen kritischen Punkt gibt, dann dürfen wir annehmen, dass dieser ein Maximum ist ohne weitere Bedingungen zu prüfen.

Die Vorgehensweise ist mir soweit klar, aber habe Probleme mit dem Gleichungssystem.

Answer 1

Aloha :)

Ich setze $(x\coloneqq K)$ und $(y\coloneqq L)$, um sie von den Konstanten $k$ und $\ell$ besser unterscheiden zu können. Im Kern geht es hier darum, eine Funktion $f(x;y)$ unter einer konstanten Nebenbedingung $g(x;y)$ zu optimieren:$$f(x,yl)=(\sqrt{x}+\sqrt y)^2=x+y+2\sqrt{xy}\to\text{Optimum}\\g(x,y)=kx\pink+\ell y=b=\text{const}$$

Wichtig: Für die Nebenbedingung in deinem Posting gibt es keine Lösung!!! Es gibt aber eine Lösung, wenn das pinke Plus-Zeichen anstatt des Minus-Zeichens in der Aufgabenstellung steht.

Nach Lagrange muss in dem gesuchten Optimum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein, die Koeffizienten dieser Linearkombination sind die Lagrange-Multiplikatoren. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{\frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt x}}{\frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt y}}=\lambda\binom{k}{\ell}$$

Um den Lagrange-Multiplikator $\lambda$ loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung für die zweite Koordinate:$$\frac{\frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt x}}{\frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt y}}=\frac{\lambda k}{\lambda\ell}\implies\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac k\ell\implies \pink{y=\frac{k^2}{\ell^2}x}$$Diese Division kannst du auch nach deiner Methode durchführen.

Mit dem falschen Minus-Zeichen in der Nebenbedingung (wie in deinem Posting) würde die Gleichung vor der pinken Lagrange-Bedinung $(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=-\frac k\ell)$ lauten, was wegen $k,\ell>0$ nicht möglich ist.

Die erhaltene pinke Lagrange-Bedinung wird in die Nebenbedingung $g$ eingesetzt:$$b=kx+\ell\pink y=kx+\ell\pink{\frac{k^2}{\ell^2}x}=\left(\frac{k\ell+k^2}{\ell}\right)x\implies x=\frac{b\ell}{k(\ell+k)}$$

Damit liegt das Optimum bei:$$x=\frac{b\ell}{k(\ell+k)}\quad;\quad y=\frac{bk}{\ell(\ell+k)}$$

Comments

Super erkannt. Dann wäre es auch eine typische Ökonomen-Aufgabe, mit b als Produktionskostenbudget oder so.

Answer 2

Deine Ableitung dK,dL passen wohl nicht - soweit ich noch lesen kann?

Was brauchst Du für einen Input:

Mit https://www.geogebra.org/m/pexyw6vp nachgerechnet

Zeile 5 müsste angepasst werden zu

LG:=Solve($4,{x,y,λ})

- ggf. zickt die App etwas wegen der nachträglichen Einführung der freien Parameter k,l,b und einzelne Zeilen müssen manuell nachberechnet werden

Zusammenfassung:

$\small f_L(x, y, \lambda) \, := \, \lambda \; \left(k \; x - l \; y - b \right) + \left(\sqrt{x} + \sqrt{y} \right)^{2}$

$\small df_L \, := \, \left\{ k \; \lambda + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}}, -l \; \lambda + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{y}}, k \; x - l \; y - b \right\}$

$\small LG \, := \, \left\{ \left\{ x = \frac{b}{k - l}, y = \frac{b}{k - l}, \lambda = 0 \right\}_{1/2} , \left\{ x = -b \; \frac{l}{k^{2} - k \; l}, y = -b \; \frac{k}{k \; l - l^{2}}, \lambda = \frac{k - l}{k \; l} \right\}_{1/2} \right\}$

Comments

Hab beim rationalisieren was falsch gemacht, danke.

Trotzdem krieg ich das System nicht einfach gelöst ohne numerische Hilfe. Würde das gerne per Hand lösen.

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Hm, hast Du mal daran gedacht zu Substituieren

$\left\{ \sqrt{x} = X, \sqrt{y} = Y, x = X^{2}, y = Y^{2} \right\}$

btw: wie arbeitet man da numerisch?

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Versuche ich jetzt gleich mal, danke.

Mit numerisch meine ich mit MATLAB oder so lösen, aber das kann ich in der Prüfung ja auch nicht :)