Wieso liegt hier ein Homomorphismus vor?

Question

Entscheide ob die Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W ein Homomorphismus ist.

Die Abbildung:K := F₃

V := F₃

W := F₃

φ: x ↦ x⁵

Ich bin wie folgt vorgegangen:

φ(0) = 0⁵ = 0. Korrekt

φ(x + x') = x⁵ + x'⁵ = φ(x) + φ(x'). Korrekt

φ(a * x) = (a * x)⁵ = a⁵ * x⁵ = a⁵ * φ(x). Nicht korrekt, da φ(a * x) = a * φ(x) hätte gelten müssen.

ABER, die Lösungen sagen, es handelt sich um eine lineare Abbildung. Wo liegt mein Fehler?

Comments

Nach meinen Berechnungen ist a⁵ = a für alle a ∈ F₃. Damit wäre φ die identische Abbildung:
φ(-1) = (-1)⁵ = -1, φ(0) = 0⁵ = 0, φ(1) = 1⁵ = 1.

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Danke, darauf habe ich nicht geachtet!

Answer 1

Es ist \(a^3 = a\) laut kleinem Satz von Fermat.

Also ist auch

        \(a^5 = a^{3+2} = a^3\cdot a^2 = a\cdot a^2 = a^{1+2} = a^3 = a\).