Matrix S finden so, dass S * A * S-1 eine Diagonalmatrix ist mit Einheitsmatrix lösen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 7: Diagonalisieren
(4+4 Punkte)
\( A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \)
Gegeben sind die Eigenwerte -2,2
a) Bestimmen Sie die Basen der Eigenräume.
b) Geben Sie eine inventierbare Matrix \( S \in \operatorname{Mat}(3 \times 3, \mathbb{R}) \) an, sodass \( S * A * S^{-1} \) eine Diagonalmatrix ist (Auf Reihenfolge von S bzw. \( \mathrm{S}^{-1} \) achten!)

Frage:

Meine Frage ist zur b), die a) ist kein Ding

An sich verstehen ich die Aufgabe und wüsste grob was ich machen soll,

allerdings frage ich mich gerade, ob man da auch einfach Sneaky sein könnte und für S die Einheitsmatrix nehmen könnte. Damit wäre dann halt S^-1 auch eine Einheitsmatrix.

Natürlich muss ich dafür erst noch A diagonalisieren, aber das schaffe ich schon hin.

Oder gibt es irgendwelchen wilden Regeln, weswegen sowas nicht geht.

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Eigenwert \(2\) muss doppelt vorhanden sein, daher solltest du dazu 2 Eigenvektoren erhalten. Ich habe raus:$$\small\lambda_1=-2\quad;\quad \lambda_2=\lambda_3=2\quad;\quad \vec v_1=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Jetzt musst du sehr aufpassen. Normalerweise reicht es, diese Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix \(M\) einzutragen, damit \((M^{-1}\cdot A\cdot M)\) Diagonalgestalt hat. Auf der Hauptdiagonalen stehen dann die Eigenwerte.

Hier ist aber gefordert, dass \((S\cdot A\cdot S^{-1})\) Diagonalgestalt hat. Du musst daher die Eigenvektoren in eine Matrix eintragen und diese invertieren \((S=M^{-1})\):$$S=\begin{pmatrix}-2 & 2 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac14 & \frac12 & 0\\[1ex]\frac14 & \frac12 & 0\\[1ex]0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Mit \(S=I\) ist aber \(SAS^{-1}=A\) und damit keine Diagonalmatrix.

Natürlich muss ich dafür erst noch A diagonalisieren, aber das schaffe ich schon hin.

Ja, dann ist doch gut. Genau darum geht es ja in b). Wenn Du a) erledigt hast, ist b) eine reine Schreibübung. Zu rechnen gibt es ja nichts mehr.