Hessematrix gleichmäßig konvexer Funktionen

Question

Problem:

ist eine Funktion gleichmäßig konvex, wenn für ihre Hessematrix H folgendes gilt:

z^T*H*Z ≥ λ_min * ||z||²  ?

Wenn dem so sei, dann wäre doch jede Funktion, dessen Hessematrix diagonalgestalt hat, gleichmäßig konvex, oder?

Comments

Offensichtlich muss die Hessematrix von f positiv definit sein, damit die Funktion überhaupt konvex ist, daher möchte ich meine Frage anpassen:

ist eine Funktion gleichmäßig konvex, wenn für ihre Hessematrix H folgendes gilt:

zT*H*Z ≥ |λmin| * ||z||2  ?


Wenn dem so sei, dann wäre doch jede Funktion, dessen Hessematrix diagonalgestalt hat und nur positive Einträge hat, gleichmäßig konvex, oder?

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Es gilt

Konvex <=> überall positiv semidefinit

überall positiv definit => strikt konvex

stark konvex mit Parameter μ>0

<=> der minimale Eigewert ist überall ≥μ>0

Gleichmäßig konvex ist ja eine Verallgemeinerung der starken Konvexheit. D.h. wenn die Eigenwerte der Hessematrix überall gleichmäßig nach unten beschränkt sind liegt auch gleichmäßige Konvexheit vor.