Banachscher Fixpunktsatz: Selbstabbildung und strike Konstraktion zeigen

Question

Aufgabe:

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1. Aufgabe: Banachscher Fixpunktsatz (4 Punkte)

Sei \( D \subset \mathbb{R} \) offen und \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetig differenzierbare Funktion mit Fixpunkt \( x^{*} \in D \), so dass \( \left|f^{\prime}\left(x^{*}\right)\right|<1 \). Zeigen Sie, dass \( \delta>0 \) existiert, so dass mit \( I:=\left[x^{*}-\delta, x^{*}+\delta\right] \) gilt:

(i) \( I \subset D \) und \( f \) ist eine Selbstabbildung auf \( I \),

(ii) \( f \) ist eine strikte Kontraktion auf \( I \) mit Kontraktionskonstante \( q:=\sup _{x \in I}\left|f^{\prime}(x)\right|<1 \).

Bemerkung: Diese Aussage zeigt, dass zumindest nahe des Fixpunkts \( x^{*} \) die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt sind, auch wenn sie evtl. nicht auf ganz \( D \) erfüllt sind.

Problem:

Ich habe das ganze als "Erklärung" gelöst (siehe Screenshot im Anhang), denke aber dass das so nicht ganz richtig ist. Einen "mathematischen"(?) weg wäre da ganz toll zu!

Beweis:
(i) Existenz von \( \delta \) :

Da \( f \) stetig differenzierbar ist, ist \( f^{\prime} \) stetig. Wegen \( \left|f^{\prime}\left(x^{*}\right)\right|<1 \) gibt es \( \delta>0 \) so, dass \( I:=\left[x^{*}-\delta, x^{*}+\delta\right] \) in \( D \) liegt. Das ist möglich, weil \( f \) aufgrund der Stetigkeit von \( f^{\prime} \) lokal Lipschitz-stetig ist.

(ii) \( f \) ist eine Kontraktion auf \( I \) :

Da \( f \) stetig differenzierbar ist, ist \( f^{\prime} \) stetig auf \( I \). Da \( I \) eine kompakte Teilmenge von \( D \) ist, ist \( f^{\prime} \) auf \( I \) beschränkt. Sei \( q:=\sup _{x \in I}\left|f^{\prime}(x)\right| \).

Da \( \left|f^{\prime}\left(x^{*}\right)\right|<1 \), haben wir \( q<1 \). Aufgrund der Stetigkeit von \( f^{\prime} \) auf \( I \) gibt es ein \( \delta>0 \) so, dass \( q:=\sup _{x \in I}\left|f^{\prime}(x)\right|<1 \) für \( I=\left[x^{*}-\delta, x^{*}+\delta\right] \).

Damit erfüllt \( f \) die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes auf \( I \), und es gibt einen eindeutigen Fixpunkt in \( I \).

Zusammengefasst haben wir gezeigt, dass es ein \( \delta>0 \) gibt, so dass (i) \( I=\left[x^{*}-\delta, x^{*}+\right. \) \( \delta \) ] in \( D \) liegt und \( f \) eine Selbstabbildung auf \( I \) ist, und (ii) \( f \) eine strikte Kontraktion auf \( I \) mit Kontraktionskonstante \( q<1 \) ist.

Comments

Der Hintergrund deines Bildes kommt mir bekannt vor ;)

Answer 1

Ich schreibe mal z für den Fixpunkt. Wegen \(|f'(z)|<1\) können wir ein \(p \in (|f'(z)|,1)\) wählen. Weil D offen ist und die Abbildung \(x \mapsto |f'(x)|\) stetig ist, existiert (zu \(e=p-|f'(z)|\)) ein \(d>0\), so dass

$$I:=[z-d,z+d] \sub D \text{  und }\forall x \in I: \quad |f'(x)|\leq p <1$$

Damit ist die Kontraktionseigenschaft erfüllt:

$$q:=\sup_{x \in I}|f'(x)| \leq p<1$$

Und ex gilt \(f:I \to I\), denn mti dem Mittelwertsatz der Differentialgleichung

$$\forall x \in I: \quad |f(x)-z|=|f(x)-f(z)| = |f'(\xi)||x-z| \leq qd \leq d, $$

also \(f(x) \in I\)