Zeigen Sie, dass die Produktnorm definiert wird

Question

Huhu, Ich habe folgende Aufgabe, die mir Probleme bereitet. Ich bin leider sehr unsicher, was das Rechnen mit Normen angeht, daher wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte :)

Text erkannt:

Seien \( \left(X_{1},\|\cdot\|\right) \) und \( \left(X_{2},\|\cdot\|_{2}\right) \) normierte Räume, sowie \( x_{1} \in X_{1} \) und \( x_{2} \in X_{2} \).
(a) Zeigen Sie, dass durch
\( \left\|\left(x_{1}, x_{2}\right)\right\|=\max \left\{\left\|x_{1}\right\|_{1},\left\|x_{2}\right\|_{2}\right\} \)
eine Norm (die sog. Produktnorm) auf dem Produktraum \( X_{1} \times X_{2} \) definiert wird.
(b) Zeigen Sie weiterhin, dass bezüglich der Produktnorm für alle \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \in X_{1} \times X_{2} \) und \( \varepsilon>0 \) gilt
\( B\left(\left(x_{1}, x_{2}\right), \varepsilon\right)=B\left(x_{1}, \varepsilon\right) \times B\left(x_{2}, \varepsilon\right) . \)

Comments

Was genau heißt "unsicher"? Was hast du schon probiert? Und hast du dir schon die Definition der beiden Normen angeschaut?

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Hi, ich habe bei a) bis jetzt die Definitheit und die Homogenität gezeigt aber bei der Dreiecksungleichung komm ich leider nicht weiter.

Answer 1

Für die Dreiecksungleichung musst du doch nur ausnutzen, dass diese auch für die Norm \(||\cdot ||_1\) gilt und damit

\(\max\{||x_1+y_1||_1,||x_2+y_2||_1\}\leq \max\{||x_1||_1+||y_1||_1,||x_2||_1+||y_2||_1\}\leq \max\{||x_1||_1,||y_1||_1\}+\max\{||x_2||_1,||y_2||_1\}\) gilt.