Produktsumme und Integral

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wir hatten das heute ganz kurz in der Schule, war aber nur wenig Zeit dann mußte der Lehrer weg. Ich verstehe nicht, was da steht? Was ist eine Produktsumme? In der Summe steht x von 0 bis 9 aber in der Zeichnung geht x doch nur bis 4?? Und wieso steht da links S_n? Es kommt doch rechts gar kein n vor?

Comments

In der Summe steht x von 0 bis 9 aber in der Zeichnung geht x doch nur bis 4?? Und wieso steht da links Sn? Es kommt doch rechts gar kein n vor?

Zähle die Anzahl der Rechtecke, und du wirst sehen, dass es 10 sind.

Jedes Rechteck hat eine Nummer bekommen (genannt: "n").

Und da man bei 0  angefangen hat zu zählen, gehen die Nummern nicht von n=1 bis n=10, sondern von n=0 bis n=9.

Answer 1

Da steht so einiger Mist. Mal wieder ein Lehrer am Werk, der es nicht so genau nimmt.

Man sollte \(\sum \left(0.5(x\cdot 0,4)^2+1\right)\) schreiben, damit die +1 nicht alleine steht. Weiterhin ist unklar, warum dann in der folgenden Zeile plötzlich +0,1 in den Summanden auftaucht... Da gehört jeweils eine +1 hin.

Eine Produktsumme ist eine Summe von Produkten. Das Produkt bezieht sich hier auf den Flächeninhalt eines Streifens (Rechtecks). Das \(x\) läuft dabei das Intervall von 0 bis 4 in zehn (\(n=10\)) gleichgroßen Schritten ab, so dass sich für die Breite \(\frac{4}{10}=0,4\) ergibt. Man bezeichnet die entsprechende Summe dann mit \(S_{10}\), oder allgemein \(S_n\). Die Höhe eines Streifens ergibt sich dann als Funktionswert an der entsprechenden Stelle, so dass man die Produktsumme \(S_{10}=0,4\sum\limits_{x=0}^9 f(0,4x)\) erhält.

Ausgeschrieben:

Erster Streifen: \(0,4f(0)\)

Zweiter Streifen: \(0,4f(0,4)\)

Dritter Streifen: \(0,4f(0,8)\)

usw.

Das sind alles Produkte, die anschließend addiert werden. In diesem besonderen Fall spricht man auch von der Untersumme, weil alle Streifen unterhalb des Graphen liegen. Es gibt dann noch die Obersumme. Dazu gibt es zahlreiche Videos im Netz. Wenn ihr damit gerade erst angefangen habt, werde ihr da in der nächsten Stunde sicherlich genauer drauf eingehen.