Hilfe vektorraum beweis körper ring

Question

Sei V ein K- Vektorraum und U kleiner gleich V. Beweisen sie folgende Aussage:

|U|< unendlich => U = {0v} oder |K|< unendlich.

zeigen sie anhand eines beispiels, dass die Umkehrung der Aussage falsch ist.

Answer 1

Widerspruchsbeweis: Sei K unendlich und U nicht-trivial. Dann hat U einen ein-dimensionalen unterraum, dieser ist isomorph zu K, hat also unendlich viele Elemente. Widerspruch. Gegenbsp.: $$\mathbb F_2[x]$$