Volumen eines Tetraeders berechnen

Question

Ich muss Schulstoff nachholen und sitzte jetzt schon seit längerem an der Aufgabe.
Ich soll das Volumen eines Tetraeders und eines oktaeders berechnen.
Mein Ansatz für Tetraeder: V= 1/3 * √3 /2 a * 1/2 a * sin60° (für die Höhe)
Es muss aber 1/12 √2 a³ herauskommen.

Ich habe dann im Internet nachgesehen:

Die Grundfläche müsste stimmen nur die Höhe bei mir ist falsch. Man  rechnet die Höhe jetzt so:
a²=h² + (2/3 h₁ )² 
Ich verstehe nicht wie man auf 2/3 h₁ kommt.
Kann mir das jemand erklären?
Ist das Volumen eines Oktaeders nicht das doppelte eines Tetraeders?

Gruß
Adrian

Comments

Hallo Adrian,

wenn wir von oben auf den Tetraeder schauen, sieht es in etwa so aus:

Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt also bei 2/3 der Strecke zwischen (hier) C und D.

Ich würde übrigens denken, dass das Volumen eines Oktaeders nicht das Doppelte eines Tetraeders ist: der Tetraeder hat als Grundfläche ein Dreieck, der Oktaeder ein Quadrat.

Besten Gruß

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Wieso Quadrat? Ein Oktaeder wird von acht gleichseitigen Dreiecken begrenzt.

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@Gast hj198:

Ja richtig; aber man kann den Oktaeder auch in zwei Pyramiden aufteilen, wie auf dem vom Fragesteller gezeigten Foto zu sehen ist - zwei Pyramiden mit jeweils derselben quadratischen Grundfläche.

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Danke hast mir geholfen! Würd dir gerne einen Stern geben, kann ich aber nicht, weil du einen Kommentar geschrieben hast.

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Hallo Adrian,

wenn ich Dir helfen konnte, freut mich das sehr!

Ein Stern ist nicht so wichtig :-)

Lieben Gruß

Andreas

Answer 1

Oktaeder → V= √ 2 /3  * a³
Beispiel a= 4 cm
V = 0,471 * 64 cm³ =  30,14 cm³ !

Comments

aber wie kommst du auf √ 2 /3

Das Ziel war die Formel selbst zu erstellen. Wie lautet also dein Rechenweg?

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Kann mir jemand nochmal helfen??

Danke

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Tipp: Die Höhenlinien eines Dreiecks schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. In einem gleichseitigen Dreieck teilt dieser Punkt die Höhen im Verhältnis von  2 : 1.

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Pyramide ist h =a*√ 2/ 2, daraus folgt V_pyr  = 1/3 *a² * a*√ 2 /2 = a³ *√ 2 /6 !

Nun ist aber Okt = 2*Pyramide , also V_ok = 2*  a³ *√ 2 /6 =  a³ * √ 2 / 3  !!

Das ist die Herleitung , bei Fragen melden .

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Dankeschön für die Hilfe!

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Aber Mathe12 ich hatte einige Probleme Dir zu folgen da helfen mir die Formeln alleine wenig, wollte es nachvollziehen