Hallo allerseits. Ich knobel leider schon wieder an einer Statistikaufgabe:
Es geht um den Benzinverbrauch von Fahrzeugen auf 100 km. Gegeben sind 30 Messwerte:
8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,8 8,8 8,8 8,8 8,8 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0
9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5
Das sieht ein wenig komisch aus, die Messwerte sind aber durch je ein Space voneinander getrennt.
Wenn ich mich nicht vertüdelt habe, ist der Mittelwert 9 l. Außerdem ist σ2 gegeben mit 0.1 (l pro 100km)2 , also ist σ=0.3162 l pro 100 km.
In Teilaufgabe a) ist das 90%-Konfidenzintervall zu berechnen
In Teilaufgabe b) ist das 99%-Konfidenzintervall zu berechnen
Die Grenzen der Konfidenzintervalle berechnen sich durch Mittelwert plusminus kritischer z-Wert mal Standardfehler, also
$$\overline x \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Soweit ist es hoffentlich noch richtig :) Mein 90%-Konfidenzintervall ist dann [8.9047, 9.0953], das 99%-Konfidenzintervall dann [8.8511, 9.1489]. Wenn ich mich bei a) und b) nicht schon vertan habe.
Nun soll in Teilaufgabe c) berechnet werden, wie viele Stichproben benötigt werden, damit das 99%-Konfidenzintervall eine Breite von 2 l hat.
Die Breite s Konfidenzintervalls dürfte ja durch "Obergrenze minus Untergrenze" berechenbar sein. Also im allgemeinen Fall:
$$(\overline x +z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}})-(\overline x -z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$$
$$=\overline x+z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}-\overline x+z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2\cdot z\cdot\sigma}{\sqrt{n}}$$
Dann kann ich das Ganze nach n umstellen:
$$\Rightarrow \sqrt{n}\cdot b = 2\cdot z\cdot\sigma\Rightarrow \sqrt{n}=\frac{2z\sigma}{b}\Rightarrow n = \left(\frac{2z\sigma}{b}\right)^2$$
Jetzt setze ich meine Werte ein:
z=z0.955=2.58, weil es sich um das 99% Konfidenzintervall handelt und damit α=1-0.99=0.01 und 0.01/2 =0.005 und damit 1-0.005=0.995
σ = 0.3162 (s.o.)
und b=2, die geforderte Breite. Damit komme ich aber auf n=0.8121. Das kann ja nicht die Stichprobengröße sein :(
Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? Ist bereits die Art, wie ich meine Konfidenzintervalle berechne nicht in Ordnung? Oder die Herleitung für die Breite falsch? Oder habe ich irgendwo anders einen "kleinen blöden" Fehler gemacht?
Vielen Dank schon einmal an alle, die mir helfen :)
