Charakteristik eines Körpers ist zwingend prim, wenn nicht 0?

Question

Aufgabe:

Die Charakteristik char \( (K) \) eines Körpers \( K \) ist, falls existent, die kleinste Zahl \( n \in \mathbb{N} \), sodass

\( \underbrace{1_{K}+\cdots+1_{K}}_{n \text { mal }}=0 \)

ist.

Falls keine solche Zahl \( n \) existiert, setzen wir char \( (K)=0 \). Zeigen Sie, dass die Charakteristik eines Körpers prim ist, falls \( \operatorname{char}(K) \neq 0 \) ist.

Answer 1

anhand eines Beispiels kannst du das mit den für \( \mathbb{Z} \) üblichen Operationen zeigen:

Sie \( char(R) = 10 \) (übrigens im Prinzip ohne Einschränkung) in \( R = \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \). Dann ist \( 0 = \sum_{i=1}^{10} = 2 \cdot 5 \). \( 2 \) und \( 5 \) sind Nullteiler in \( R \) und \( R \) kann kein Körper sein.

Also muss die Charakteristik prim sein, um in diesem Beispiel keine Nullteiler im resultierenden Ring zu erzeugen. Ein endlicher Ring ohne Nullteiler ist ein Körper.

Mister

PS: Die Charakteristik eines Ringes \( char(R) \) sei jetzt an dieser Stelle mal genauso definiert wie die Charakteristik eines Körpers.