Aufgabe zu Zeilenvektor und det

Question

Sei \( A \in M_{n}(\mathbb{R}) \), seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) die Zeilenvektoren von \( A \) und seien \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \) reelle Zahlen, die nicht alle gleich Null sind. Zeigen Sie: Wenn

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \lambda_{k} v_{k}=0 \)

gilt, dann ist \( \operatorname{det}(A)=0 \).

Answer 1

Die Zeilenvektoren sind nach Voraussetzung linear abhängig, da mindestens ein λ_i ≠ 0 ist. Damit läßt sich der Zeilenvektor v_i als Linearkombination der anderen Zeilenvektoren ausdrücken. In der i-ten Zeile stehen somit Vielfache der anderen Zeilen. Da die Determinante ihren Wert nicht ändert, wenn man Vielfache von Zeilen zu einer anderen Zeile addiere, kann man somit in der i-ten Zeile lauter Nullen erzeugen.

EIne Determinante hat den Wert Null, wenn eine Zeile aus lauter Nullen besteht.