Sind die Vektoren linear unabhängig? Falls nicht, welche können weggelassen werden, damit lineare Abhängigkeit vorliegt?

Question

Aufgabe - Lineare Unabhängigkeit von Vektoren:

Gegeben sei die Matrix \( A \) und die Viektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \), mit

$$ A=\left(\begin{array}{cccc} {-1} & {2} & {5} & {-1} \\ {0} & {\frac{1}{3}} & {1} & {0} \\ {\frac{1}{2}} & {0} & {1} & {0} \\ {-2} & {-2} & {-10} & {0} \end{array}\right), \quad \mathbf{u}=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {2} \\ {\frac{1}{2}} \end{array}\right) \quad \text {und} \quad \mathbf{v}=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{3}} \\ {\sqrt{3}} \\ {0} \\ {-5} \end{array}\right) $$

a) Berechnen Sie \( A \cdot \) \( \mathrm{u} \) und \( A \cdot \mathrm{v} \)

b) Durch die Matrix \( A \) ist die lineare Abbilltuns \( T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) mit
$$ T(x)=A \cdot x $$

definierst.

Sind die Vektoren \( T^{\prime}\left(e_{1}\right), \quad, \quad \therefore=1,2,3,4 \) linear unabhängig? Falls nicht, welche Vektoren können weggelassen werden, so dass die restlichen Vektoren linear unabhängig sind?

Ansatz/Problem:

Ich weiß bei Teilaufgabe b) nicht mehr weiter. Um zu beweisen ob die 4 Vektoren unabhängig sind kann ich doch die Dreiecksform der Matrix bilden. Hab also die Matrix fleißig umgebaut (siehe Bild) und rausbekommen, dass es eine Nullzeile gibt. Dies bedeutet die Vektoren sind doch voneinander abhängig. Nun soll ich jedoch sagen welche weggelassen werden können,damit die restlichen linear unabhängig sind und weiß nicht genau wie ich das mache. Hab hierzu einfach mal das LGS aufgestellt am ende ( damits übersichtlicher ist hier als variablen w,x,y,z , habs mit λ1-4 numeriert)

I)   2w-4x-10y+2z =0
II)  6x+18y =0
III) 2y-2z =0

Hab nun da ich ja einen freien parameter hab einfach mal λ4 (also hier z) gleich k gesetzt
dann bekomm ich logischerweise aus gleichung 3 raus z=y=k
Setze das in II) ein und bekomme x=-3k setze dies in I) ein und bekomme w=-2k
Heißt das nun, dass ich einen der beiden vektoren e3 oder e4 weglassen darf damit der rest linear unabhängig ist? Oder muss ich einen ganz anderen Ansatz nehmen?

Answer 1

ein Lösungsvorschlag:

nun da lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren bereits gezeigt ist, schauen wir uns die vier Spaltenvektoren mal mit "scharfem" Auge an und sehen, dass drei dieser Vektoren an jeweils unterschiedlichen Positionen eine Null haben. Das ist ein gutes Indiz dafür, dass diese drei Vektoren linear unabhängig sind. Wir nehmen dies als Ansatz und schreiben diese drei Vektoren  in eine neue Matrix und prüfen wie gehabt mit Gauss die Lösbarkeit bzw. den Rang dieser Matrix. Ergibt sich dabei lineare Unabhängigkeit, kann der nicht benutzte 4. Vektor aus A entfernt werden.

Eine andere Überlegung ist (hier bin ich mir aber nicht ganz sicher):

Da beim Gauss-Algorithmus nur eine Null Zeile entstand, die anderen Zeilen aber Stufenform bilden, ist es im Grunde egal, welchen Vektor man entfernt. Eine solche Konstellation deutet darauf hin, dass ein Vektor nur als Linearkombination ALLER anderen drei gebildet werden kann. Entnimmt man nun einen Vektor daraus, ist eine Linearkombination nicht mehr möglich also linear unabhängig...