pq Formel komplexe Zahlen: z^2 + (2+i)z + 2i = 0

Question

Zu lösen ist:

\( z^2 + (2+i)z + 2i = 0 \)

Ansatz/Problem:

Pq Formel:
\( \begin{aligned} z_{2,3} &=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q} \\ &=-\frac{(z+i)}{2} \pm \sqrt{\frac{(z+i)^{2}}{4}- zi} \\ &=-\frac{(z+i)}{2} \pm \sqrt{\frac{(z+i)^{2}-8 i}{4}} \end{aligned} \)

Wie kann ich weiter machen? Gibt es einen Trick?

Answer 1

Trick unter der Wurzel:

Zähler unter deiner Wurzel vereinfachen.

(2+i)^2 - 8i

= 4 + 4i - 1 - 8i

= 3-4i

Nenner dazunehmen

Nun standardmässig weiter z.B. mit Polarkoordinaten.

Alternative: quadratisch Ergänzen (lässt sich grün auch rückwärts anwenden)

z^2 + (2+i)z + 2i = 0

z^2 + (2+i)z + (0.5(2+i))^2 - (0.5(2+i))^2 + 2i = 0

(z + 0.5(2+i))^2 = 0.25 (4 + 4i -1) -2i = 0.25(3 + 4i) - 2i = 0.25(3 - 4i) = 0.25(4 - 4i - 1)= 0.25(2 -i)^2       | √

z + 0.5(2+i) = ±0.5(2-i)

z = -0.5(2+i) ± 0.5(2-i)

z1 = - 1 - 0.5i + 1 - 0.5 i = -i

z2 = -1 - o.5i - 1 + 0.5i  = -2

Achtung: Selbst kontrollieren / korrigieren. 

Erste Kontrolle passt: https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2+%2B+%282%2Bi%29z+%2B+2i+%3D+0+++

Answer 2

Gibt es irgend einen Trick?

Keine pq-Formel verwenden?
$$ 0 = z^2 + (2+\text{i})z + 2\text{i} \\ 0 = z^2 + 2z +z\text{i} + 2\text{i}  \\ 0 = (z + 2)\cdot z + (z + 2)\cdot\text{i} \\ 0 = (z + 2)\cdot (z + \text{i}) $$