Darstellungsmatrix von Polynom

Question

ich bin gerade an der Aufgabe:

Gegeben sei die Abbildung $$ f(x)\rightarrow f(2x-7) $$

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis {1,x,x²}.

Berechnen Sie als Überprüfung f(1+2x+x²) mit der bestimmten Darstellungsmatrix und auf direktem Weg.

Mein Lösungsversuch:

$$ p(1)= (2x-7)^0=1 $$

$$ p(x)=(2x-7)^1=2x-7 $$

$$ p(x^2)=(2x-7)^2=4x^2-28x+49 $$

Somit würde ich jetzt auf eine Darstellungsmatrix

$$ \begin{pmatrix} 1 & -7 & 49 \\ 0 & 2 & -28 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$

kommen, was aber bei meinem Test von f(1+2x+x²) nicht auf das gleiche Ergebnis gekommen ist.

$$ f(1+2x+x^2=2(1+2x+x^2)-7=-5+4x+2x^2 $$

und

$$ \begin{pmatrix} 1 & -7 & 49 \\ 0 & 2 & -28 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36 \\ -24 \\ 4 \end{pmatrix} = 36-24x+4x^2 $$

,

Nils

Comments

Ich habe die Aufgabe mittlerweile selbst gelöst bekommen. Lösung folgt unten!

Answer 1

es ist mir mittlerweile gelungen die Aufgabe selber zu lösen.

Es sollte sich um eine Abbildung

$$ f:R[x]_2\longrightarrow R[x]_2 ~;~ p(x)\longmapsto p(2x-7) $$

handeln, wobei R[x]₂ ein Vektorraum der Polynome von Grad kleiner gleich 2 sein sollte.

Mein Fehler war, dass ich für die Berechnung der Darstellungsmatrix die Funktionsvorschrift richtig in die Basis eingesetzt habe, dies aber nicht mehr bei dem Prüfen von f(1+2x+x²) getan habe. Dort habe ich das Polynom in die Funktionsvorschrift eingesetzt. Somit müsste es bei dem Test heißen:

$$ f(1+2x+x^2)=1\cdot (2x-7)^0 + 2\cdot (2x-7)^1 + 1\cdot (2x-7)^2 $$

$$ = 1+2x-7+4x^2-28x+49= 36-24x+4x^2 $$

Dies stimmt genau mit dem mit der Darstellungsmatrix errechneten

$$ \begin{pmatrix}  36 \\ -24 \\ 4  \end{pmatrix} $$

überein.

Somit wäre die Aufgabe gelöst!

Vielen Dank

Answer 2

Deine Abbildung macht so keinerlei Sinn. Was ist f?

Was ist die Definitionsmenge, was der Wertebereeich (beides sind eigentlich exxentielle Teile des Begriffs Abbildung)

Comments

So wie ich das verstehe solle es sich um eine Polynomfunktion handeln, die vom R[x]₃ in den R[x]₃ abbildet. Und dies mit der Vorschrift

$$ x↦2x-7 $$

Also, dass man ein beliebiges

$$a+bx+cx^2$$

Für x einsetzen darf und somit wieder auf etwas der Form

$$ a+bx+cx^2 $$

Abbildet.