Aehm, wie kann ich hier nochmal Antworten? Das Eingabefeld ist weg. (Sorry, bin neu hier. )
Also ich versuchs mal hier.
1a) Umwandeln, d.h. nach y auflösen.
Ist natürlich: " y= √(288-4x²) /9 " (wobei die "9" unter der Wurzel steht) (bei Kommentieren hab ich keinen Formeleditor, mal sehen ob es ohne geht)
1b) Ableiten
Die Kettenregel lautet: wenn y=u(v(x)) dann ist y'= u'(v)*v'(x)
in unseren Fall ist v(x)=288-4x² und u(v)=(1/9) *(v^{1/2}) mit v = 288-4x² (wobei das ^ für Potenz steht)
v'(x) ist dann -8x [Potenzregel]
u'(v) ist dann (1/9)*(1/2)*v^{-1/2} [Potenzregel] => (1/18)*v^{-1/2} => 1/(18 * v^{1/2}) => 1/(18*√(v))
y' ist dann -8x * 1/(18 * v^{1/2}) , jetzt v einsetzen
=> y' = -8x/(18 * (288-4x²)^{1/2}) [(...)^{1/2} ist eine andere Schreibweise für √(...) ]
2) Steigungen bestimmen
Wir reden hier über eine Ellipse die horizontal liegt. D.h. die Steigungen der Tangenten sind einmal 0 (Null) und einmal ∞ (Unendlich d.h. Senkrecht) [Das war das Unendlich von dem ich gesprochen habe]
3) Passendes x bestimmen
3a) Steigung ist m=0
d.h. y' = 0 => 0 = -8x*/(...)
"Ein Bruch ist dann Null wenn der Zähler Null ist (solanage der Nenner nicht auch Null wird)"
=> 0 = -8x => 0=x
d.h. für die horzontale Tange(n) ist der x Wert Null. Der Nenner ist dann ≠ 0, wie ein einfaches Einsetzen der Werte ergibt.
3b) Steigung ist m=∞
d.h. y' = ∞ => ∞ = -8x*/(...)
"Ein Bruch wird dann maximal wenn der Nenner Null wird (solange ...)"
d.h. 0=18 * (288-4x²)^{1/2} | :18
=> 0 = (288-4x²)^{1/2} | ()² [Quadrieren beider Seiten]
=> 0 = 288 -4x² | + 4x²
=> 4x² = 288 | :4
=> x² = 72 | √
=> x = √72 = ~±8,4853 [Das war das "zwei Ergebnisse beim Wurzelziehen" von dem ich gesprochen habe]
4) Gleichung der Tangenten bestimmen
4a) mit m=0
y=0*x+b
bei x=0 hat die Gleichung den Wert y=√(288-4*0²) /9 => √(288) /9 => √(2*144) /9 => (√2*√144) /9 => √2*12/9 => √2*4/3 = ~±1,8856 [auch hier zwei Ergebnisse]
=> die Berührpunkte liegen bei (0|√2*4/3) und (0|-√2*4/3)
Die Geradengleichung lauten "y = √2*4/3" und "y=-√2*4/3" [es ist korrekt das in der Gleichung kein x vorkommt.]
4b) mit m=∞
y=∞*x+b
Die x-Werte der Berührpunkte liegen bei ±√72 (hab ich oben ausgerechnet)
In die Gleichung y= √(288-4x²) /9 eingesetzt => y = 0
d.h. diese Berührpunkte liegen auf der X-Achse.
Die Koordinaten sind dann (+√72|0) und (-√72|0)
Wir haben also eine Senkrechte Tangente. Senkrechte Geraden können aber in der y=mx+b Form nicht dargestellt werden. Insbesondere der Wert b ist ja der Punkt wo die Gerade die y-Achse schneidet. Den gibt es hier aber gar nicht.
=> Geradengleichungen können nicht aufgestellt werden. (Das ginge nur in der Vektorform)
Möglicherweise ist da ein Fehler in der Aufgabenstellung. Vielleicht will der Lehrer aber auch sehen ob Ihr genau das kapiert hat.
Es ist jetzt doch umfangreich geworden. Am besten du gehst mal wirklich alles Schritt-für-Schritt durch.
Ich hoffe das ist jetzt alles verständlich und die Funktionen lesbar sind.
By
Reinhard
