Aufgabe:
(a) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition des Funktionsgrenzwertes, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=2+x \sqrt{1+\frac{4}{x^{2}}} \)
in \( x_{0}=0 \) nicht stetig ergänzt werden kann.
(b) Zeigen Sie mit dem \( \varepsilon-\delta \)-Kriterium der Stetigkeit, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\sqrt{x^{2}+1} \)
in \( x_{0}=0 \) stetig ist. Weisen Sie dazu zuerst nach, dass die Ungleichung \( \sqrt{x^{2}+1}-1 \leq \sqrt{x^{2}} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt.
(c) Zeigen Sie mit dem \( \varepsilon-\delta \)-Kriterium der Stetigkeit, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x & , \quad x<0 \\ x-1 & , \quad x \geq 0 \end{array}\right. \)
in \( x_{0}=0 \) nicht stetig ist.
