DG: $$ y'' + y'+y=e^x $$
Ich würde normalerweise folgendes machen:
Charakteristisches Polynom aufstellen
$$ \lambda^2+\lambda+1=0 \rightarrow \lambda_{1,2}=-0,5\pm i \cdot \sqrt{0,75} $$
homogener Lösungsteil: $$ y_h=C_1\cdot \sin {\sqrt{0,75}x} + C_2\cdot \cos {\sqrt{0,75}x} $$
Jetzt bleibt die Störfunktin r(x)=e^x übrig
Ansatz: $$ y_p=A\cdot e^x\\y_p'=A\cdot e^x\\y_p''=A\cdot e^x \\A\cdot e^x + A\cdot e^x+ A\cdot e^x=e^x \rightarrow 3A=1 \rightarrow A=1/3 $$ also die patikuläre Lösung ist
$$ y_p=1/3 \cdot e^x\\ $$ und die alg. Lösung:
$$ y=C_1\cdot \sin {\sqrt{0,75}x} + C_2\cdot \cos {\sqrt{0,75}x}+1/3 \cdot e^x $$
Aber wie berechne ich einfach nur die partikuläre Lösung, ohne die Nullstellen des charak. Polynom zu kennen?
