Beweise oder Widerlege Behauptungen zu Ähnlichkeit von Matrizen

Question

Seien A,B,C,D $\in M_n(\mathbb{K})$ mit n > 1. Beweise oder Widerlege!

1.) Seien A,B ähnlich, dann sind auch Aⁿ und Bⁿ ähnlich zueinander für jedes n aus den natürlichen Zahlen

2.)sei A ähnlich zu B und C ähnlich zu D dann ist auch A+C ähnlich zu B+D.

3.) seien $\lambda_1,\lambda_2.....,\lambda_n$ paarweise verschiedene Skalare in $\mathbb{K}$ mit det(A-$\lambda_i E_n$)=0. Beweise, dass A diagonalisierbar.

Mein Ansatz:

1.)A und B ähnlich bedeutet, dass deren Charakteristische Polynome gleich sind. (auch dass die geometrische Vielfachheit bez. $\lambda$ gleich sind).. Intuitiv würde ich jetzt sagen, dass dann Behauptung 1 nicht stimmt, da man ja die Matrix hoch n rechnet und sich dann das Charakteristische Polynom verändert bei der Matrixmultiplikation.

2.) Ich weiss, dass àhnlichkeit eine Äquivalenzrelation ist. Kann ich anhand von dem das herleiten oder gibt es einen anderen Weg?

3.) Finde keinen Ansatz dazu, hat mir jemand einen?

Answer 1

$A\sim B\,\,\,:\Longleftrightarrow\,\,\,\text{Es gibt eine regulaere Matrix $C$ mit $B=C^{-1}AC$}$.

Damit rechnest Du 1) und 2) nach.

3) hab ich Dir schon erzaehlt:

Comments

also muss ich bei A:

$B^n=(C^{-1}AC)^n$

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Ja, ausgerechnet soll dann $C^{-1}A^nC$ dastehen.

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stimmt Aussage 2)?
gilt: (N^-1 * A * N) + (N^-1 * C * N) = N^-1 * (A+C) * N ?
bin mir da nicht sicher ob diese Gleichung stimmt. :/

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1,) und 3.) stimmen also somit nehme ich an, dass 2.) nicht stimmt, mir kommt aber kein Gegenbeispiel in den Sinn. Also wollte ich es auch theoretisch beweisen mit

(N^-1 * A * N) + (N^-1 * C * N) = B+D. 

Wo komme ich hier aber weiter?

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stimmt  (N^-1 * A * N) + (N^-1 * C * N) = N^-1 * (A+C) * N ? 

Wie kommt man da drauf?

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Deine Gleichung stimmt, man bestaetigt sie, indem man rechts distributiv ausmultipliziert.

Die Behauptung bei 2) stimmt aber trotzdem nicht.

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Aber wenn diese Gleichung stimmt, dann folgt doch daraus, dass (A+C) ~ (B+D), da ein N aus den regulären Matrizen existiert mit B+D = N^-1 * (A+C) * N.

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Wie kann aber diese Gleichung stimmen, aber die Behauptung stimmt trotzdem nicht?

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Es stimmen viele Gleichungen. Diese hier z.B. Sie gibt aber nicht die Antwort auf die Frage. Tipp: Wer behauptet, dass dieselbe Matrix die Aehnlichkeit zwischen dem Paar A, B und dem Paar C, D vermitteln muss?

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Aha du meinst:

$$B=N^{-1}AN$$

$$D=S^{-1}CS$$

$$B+D= N^{-1}AN + S^{-1}CS$$

Kann mann das nicht weiter umformen?

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Jedenfalls nicht so, dass A+C ~ B+D rauskommt. Konkret widerlegst Du die Aussage 2) am besten mit einem Gegenbeispiel.

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Habe ich schon versucht, aber kam immer etwas richtiges raus. Hast du mir gerade ein Gegenbeispiel?