Schnitt und Vereinigung von beliebigen Familien von kompakten Mengen

Question

Der Durchschnitt und die Vereinigung von endlich vielen kompakten Teilmengen in einem metrischen Raum X sind ja wieder kompakt. Was ist nun wenn man Durchschnitt und Vereinigung von beliebigen Familien {K_i}i∈I von kompakten Mengen betrachtet? Lässt sich darüber auch was aussagen?
Gruss

Answer 1

Abgeschlossene Intervalle sind kompakt, offene Intervalle sind es nicht.

Vereinige alle abgeschlossenen Intervalle [-a, a], für die 0<a<1 gilt. Die Vereinigung ist das offene Intervall (-1, 1).

Schränkt man das ein auf rationale a, dann sieht man dass bereits abzählbar viele kompakte Mengen vereinigt werden können, um eine nicht-kompakte Menge zu bekommen.