Löse Anfangswertproblem, finde allgemeine Formel

Question

Löse Anfangswertproblem mit \(y'=4y\) und \(y(0)=y_0\) mit Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren mit f(x,y)=4y.

Habe die ersten 2 Iterationsschritte berechnet:

$$y_0=y_0$$

$$y_1(x)=y_0(1+4x)$$

$$y_2(x)=y_0(1+4x+8x^2)$$

Jetzt soll ich eine allgemeine Formel für \(y_n(x)\) bestimmen ich sehe aber keine. Kann mir jemand dabei weiterhelfen?

Answer 1

Hi
Du kannst Dein Ergebnis auch so schreiben
$$ y_0 (1 + 4x +8x^2 ) = y_0 \left(1 + \frac{4x}{1!} + \frac{(4x)^2}{2!} \right) $$ Das ist der Anfang einer Taylorreihe für \( y_0 \cdot e^{4x} \) und durch nachrechnen kannst Du nachweisen, dass \( y_0 \cdot e^{4x} \) auch die Lösung der Dgl. ist.