Stimmt der Beweis von v(a*b)=v(a)+v(b)

Question

Zu beweisen gilt folgendes:

∀p∈ℙ: v_p(a*b) = v_p(a)+v_p(b) wobei v_p(a) := max{k∈ℕ₀: p^k|a}

Bitte entschuldigt meine schlampige Schrift aber folgenden Beweis habe ich dazu geführt. Ich bitte um Durchsicht bzw. etwaige Verbesserungsvorschläge.